韋達跳越（）是一個處理數論的數學證明技巧。通常是藉韋達定理，來對根進行無窮遞降法。
歷史
韋達跳越在国际奥林匹克数学竞赛（）裡是一個相對較新的數論解題技巧，在1988年IMO第一次出了這類的題目，且被認為是當年最難的題目。Arthur Engel 曾寫了關於這問題的一段描述：
在十一名學生中，有一名即為知名的菲爾茲獎得主吳寶珠。
標準型韋達跳躍
標準型韋達跳躍的中心概念是反證法，由下列步驟所組成：
#假設存在一個不符合題意的解。
#借由此解製造出的最小解(x, y)，我們可以找到一個更小的解，但這和最小解(x, y)是相違背的。
注：(x, y)的"最小"由一個函數f(x, y)給出，通常可令f(x, y) = x + y。
範例
1988 IMO #6
a和b是正整數，且ab + 1整除a^2 + b^2。試證\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}為完全平方數。
#令。我們假設在滿足題目的條件下，存在一個或更多不是完全平方數的解。
#對特定，使為其對應解中最小的，不失一般性可假設。用變數取代，重整方程式可得，其中一根為。利用韋達定理，可將另一根表示成或是。
#從的第一個表示式可得為整數，第二個表示式可得因為不是完全平方數。進一步的，我們從可得為正數。最後，從可推出，所以，與為最小矛盾。
常數型韋達跳躍
範例
a和b是正整數，且ab整除a^2 + b^2 + 1，試證3ab = a^2 + b^2 + 1。
幾何解釋
範例
1988 IMO #6一樣可以使用幾何解釋解出。a和b是正整數，且ab + 1整除a^2 + b^2。試證\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}為完全平方數。
參見辭條
- 韋達定理
- 反證法
- 馬爾可夫方程
- 無窮遞降法
参考文献
评论 (0)