严谨 (数学)
数学上，严谨（rigor，mathematical rigor）不同于生活中的严谨，它指数学系统尤指公理系统的完备性和自洽性。 完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论；自洽性指公理系统内不存在悖论（即既是真又是假的命题）。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何，或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一，但后两者并不满足完备性要求，只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德爾不完備定理并不矛盾，前者…
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绝对无限
绝对无限是数学家康托尔的超越超限数的无限概念。康托尔把绝对无限等同于神。他坚持绝对无限有各种数学性质，包括绝对无限的所有性质也被某些更小的对象所持有。 康托尔的观点 引证康托尔所说: :实际无限在三个上下文中出现: 首先在它被认识于最完善的形式中，在完全独立的其他世界的存在中，“in Deo”的时候，这里我称呼它为绝对无限或简单的称为无限；其次在它偶然性的出现在 神造世界中的时候；第三在精神“在观念上”把它掌握为数学上的量、数或序类型的…
多項式譜系
计算复杂度理论中，多项式谱系是一个复杂度系列。它从P、NP和反NP复杂度类逐级产生至预言机。它类似于数理逻辑中算数阶层和分析阶层，只不过是由逐级放宽资源限制而产生的。 定义 多项式谱系有数个等价的定义。 {{ordered list| 1= 用预言机定义多项式谱系。首先定义 :\Delta_0^\mathsf{P} := \Sigma_0^\mathsf{P} := \Pi_0^\mathsf{P} := \mathsf{P}, 其中P…
長直線
拓撲學中，長直線，或稱亞歷山德羅夫（Alexandroff）直線，是一個有點像實數線的拓撲空間，但是比實數線要「長」。長直線局部性質就如實數線，但整體性質不同，因此常用作拓撲學的基本反例。直觀地說，實數線有可數多個首尾相接的線段[0, 1)，而長直線是用不可數多個這些線段構成。 定義 閉長射線L定義為第一不可數序數ω1與半開區間[0, 1)的笛卡兒積，賦以自ω1 × [0, 1)上的字典序生成的序拓撲。將閉長射線除去最小元素(0,0)就…
吴消元法
吴消元法，又称吴特征列方法，是中國科學院院士吴文俊创立的将多元多项式方程组简化然后求解的机械化算法。吴消元法可用计算机实现，是数学机械化的基础。 历史 多项式的指标 多项式： :::P=P(x_{1},x_{2},……x_{n})中 ;主变元 :变元(x_{1},x_{2},……x_{n})中下标最大下标 称为多项式P的主变元，记为 Ivar(P) :例如 P=-2x_{2}^2-x_{1}x_{2}^2+2x_{1}x_{2}+2x_…
连续变量与离散变量
数学与统计学中，若一个定量变量通常由测量获得，则可能是连续的；若通常由计数获得，则可能是离散的。若变量可以取两个特定的实值，且还可以取两者间所有实值（包括任意或无限接近的值），则变量在该区间内连续。若变量可以取一个值，而其两侧各有非无穷小的间隙，其中没有可取的值，则称其在此值附近是离散的。某些语境下，变量在数线的某些范围内是离散的，在另一些范围内则可以是连续的。 连续变量 连续变量是由测量获得值的变量，即可以在不可数集上取值的变量。 例…
不失一般性
不失一般性（without loss of generality，缩写：WLOG、WOLOG）是数学证明中的一种用词，表示虽然证明中引入了原命题不包含的假设，但是其仍然充分证明了原命题，而非仅仅证明了一个特例。这一用词常见于证明带有对称性的命题。 例子 舒尔不等式声称，对于任意非负实数x、y、z和正数t都有: :x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \ge 0. 对其的证明便可…
∂
数学符号∂（HTML元素：∂ 或 ∂，Unicode: U+2202）或\partial是d的一种变体，主要用于表示偏导数，例如 \frac{\partial z}{\partial x}（读作“z对x的偏导数”）。 总览 这一符号于1786年由勒让德首次引入，但直到1841年雅可比的使用才使得它真正开始流行起来。 ∂ 也被用于表达以下含义： 雅可比矩阵，\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w…
规范形
为规范形进行算法易位构词游戏测试：以C语言数组形式给出字符串“madam curie”“radium came”。通过排序，将每个字符串窜转为规范形。由于两个字符串排序后完全相同，因此原字符串实为彼此的变形。]] 数学和计算机科学中，数学对象的标准形、规范形是将该对象作为表达式呈现的标准方式。通常来说，它提供了对象的最简单的表示，并允许以独特的方式识别。“规范（canonical）”与“标准（normal）”的区别因领域而异，大多数时候…
狄利克雷边界条件
在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。 例子 常微分方程 在常微分方程情况下，如 : \frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1 在区间[0,1]， 狄利克雷边界条件有如下形式： :y(0) = \alpha_1 :y(1) = \alpha_2 其中\…
NP困难
, NP, NP完全，以及NP困难之间关系的欧拉图]] NP困难（NP-hardness, non-deterministic polynomial-time hardness）问题是计算复杂性理论中最重要的复杂性类之一。如果所有NP问题都可以多项式时间归约到某个问题，则称该问题为NP困难。 因为NP困难问题未必可以在多项式时间内验证一个解的正确性（即不一定是NP问题），因此即使NP完全问题有多项式时间的解（P=NP），NP困难问题依然…
闭包 (数学)
数学中，若对某个集合的成员进行一種运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在這个运算下闭合。 例如，实数在减法下闭合，但自然数不行：自然数 3 和 7 的减法 3 − 7 的结果不是自然数。 类似的，一个集合被称为在某些运算的搜集下闭合，如果它在每个运算之下都闭合。 一个集合在某个运算或某些运算的搜集下闭合被称为满足闭包性质。闭包性质经常作为公理，通常叫做闭包公理。现代集合论通常这样定义：运算为在集合间的映射。所以向一个结构增加…
旋轉因子
旋轉因子原來是指在庫利－圖基快速傅里葉變換算法的蝴蝶形運算中所乘上的複數常數，因此常數在複數平面上位於單位圓之上，對於被乘數在複數平面上面會有旋轉的效果，故名為旋轉因子，後來也會用來指稱FFT中的任一常數乘法。 定義 先觀察N點DFT的公式如下 X[k]= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2 \pi nk/N)}\qquad k=0,1,\ldots,N-1 在這裡定義旋轉因子(twiddle factor)為：…
反例
在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用。举例来说，对一个命题：所有的天鹅都是白色的。这是一个全称命题，声明对于某类事物全体（所有的天鹅），都有某个性质（是白色的）。为了说明这个命题不是真的，只需要举出一个例子，其对象属于这类事物，但不具有命题中声称的性质就可以了。这样的例子称为反例：一只不是白色的天鹅就是这个命题的反例。 应用 数学中的应用 数学中，反例常被用于证明之中。有许多数学猜想或命…
状态密度
在统计力学和凝聚体物理学中，状态密度或态密度为某一能量附近每单位能量区间里微观状态的数目，又叫做能态密度。在物理学中，具有同一能量的微观状态被称为简并的。简并态的个数叫做简并数。在离散能级处，简并数就是相应能量的态密度。在连续和准连续能态处，设g(E)为态密度，则处在能量E和E+dE区间的态的个数为g(E)\mathrm{d}E。 态密度的重要性在于，在一个正则系综中系统处在能量E到E+dE之间的概率为\rho(E)\mathrm{d}…
多维空间
多维空间是一個空間拓撲學的術語，指由四條或者更多维度组成的空间，但日常應用中，更常指\ge 5的空間。多维空间的一個特例是N維的歐幾里得空間。 简介 在平行宇宙理论中，由于存在着无数多个3维宇宙，这些宇宙并不能通过长、宽、高或者时间进行相连，只能通过另外一条维度进行连接，因此平行宇宙本身至少就是一个4+1维时空（5维空间）。在弦理论中，认为各种基本粒子都是由十分小的线状弦组成的，在众多现象难以用理论解释的情况下，爱德华·维顿提出了11维…
形式化方法
形式化方法，中文也稱形式方法、正規方法。在计算机科学和软件工程领域，形式化方法是基于数学的特种技术，适合于软件和硬件系统的描述、开发和验证。将形式化方法用于软件和硬件设计，是期望能够像其它工程学科一样，使用适当的数学分析以提高设计的可靠性和強健性。但是，由于采用形式化方法的成本高意味着它们通常只用于开发注重安全性的高度整合的系统。 参考文献
基础矩阵
在计算机视觉中，基础矩阵（Fundamental matrix）\mathrm{F}是一个3×3的矩阵，表达了立体像对的像点之间的对应关系。在对极几何中，对于立体像对中的一对同名点，它们的齐次化图像坐标分别为p与p'，\mathrm{F}p表示一条必定经过p'的直线（极线）。这意味着立体像对的所有同名点对都满足： :p'^{\top}\mathrm{F}p=0 F矩阵中蕴含了立体像对的两幅图像在拍摄时相互之间的空间几何关系（外参数）以及…
二阶锥规划
二阶锥规划（second-order cone program，SOCP）是一种特殊的凸优化问题，它具有如下形式： :minimize \ f^T x \ :subject to ::\lVert A_i x + b_i \rVert_2 \leq c_i^T x + d_i,\quad i = 1,\dots,m ::Fx = g \ 其中，该优化问题的参数包括 f \in \mathbb{R}^n, \ A_i \in \mathb…
魏尔斯特拉斯-恩内佩尔曲面
在微分几何中，魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化（WE曲面、魏恩曲面、Weierstrauss-Enneper surfaces）是二维极小曲面的参数化。 它以恩内佩尔（Enneper）和魏尔斯特拉斯的名字命名。他们在1863年发现了这个参数化。 的魏恩曲面]] 设 f 是解析函数、g 是亚纯函数、fg2 是 全纯函数、c1, c2, c3 是常数。若(x1,x2,x3)是曲面M的坐标以及 \begin{align} x_k(\zeta) &…