反證法
反证法（英语：proof by contradiction；拉丁语：reductio ad absurdum）是一种在经典逻辑中有效的数学证明方法，适用于证明一个数学命题为真。当命题A为假时，可应用反证法到\lnot A。反证法是一种间接证明方法，常用于难以直接证明的情形。 反证法的操作步骤是： 假设原命题的否定为真； 经过一系列正确的推理，得出根据矛盾律知恒为假的矛盾； 根据否定後件律，矛盾的根源只可能是原命题的否定为假（即假设不成立…
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公理系统
数学上，一个公理系统（，或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个公理的集合，从中一些或全部公理可以一併用來逻辑地导出定理。一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例；但是通常完全形式化的努力僅带来在确定性上递减的收益，并让人更加難以阅读。所以，公理系统的讨论通常只是半形式化的。一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在模型论中表述的那样。一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表…
对位证明法
对位证明法（，又或者），或称否定证明法、逆否命题法，是逻辑數學的其中一個證明方法。其与反证法相似，但是是不同的概念。根據邏輯，「A\to B」等於「\neg B\to \neg A」，即取其逆否命题。 需要注意，对位证明法与反证法不同。 定義 给予给予初始实质条件命题“若P，则Q”：A\to B，对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q，则非P”：\neg B\to \neg A的真值。 逻辑上，对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和…
自然演绎
在数理逻辑中，自然演绎是证明论中尝试提供象“自然”发生一样的逻辑推理形式模型的一种方式。這種方式對比於使用公理的公理系統。 动机 自然演绎来源自对共通于弗雷格、罗素和希尔伯特系统的判句公理化(希尔伯特演绎系统)的不满。这种公理化最著名使用是在罗素和怀特海的《数学原理》的数学论述中。在1926年由扬·武卡谢维奇在波兰发起的一系列研讨会提倡一种对逻辑的更加自然处理，斯坦尼斯瓦夫·亚希科夫斯基做了定义更自然的演绎的最早尝试，首先在1929年使…
穷举法
穷举法，亦称作分类证明、分类分析证明、完全归纳法或暴力法，是一种数学证明方法, 它将所求证的命题分为有限种情形或是等价情形的集合，接著依每种类型分别检验该命题是否成立，此乃一种直接证明法。 穷举法证明包括两阶段： 证明分类是完全的, 也就是说每一个待证的个例皆符合（至少）一类情形的条件； 分别对每一类情形给出证明。 计算机（電腦）的普及大大提升了穷举法的易用性，计算机专家系统可用窮舉法解答許多问题。理论上而言，穷举法适用于任何有限情形，…
反例
在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用。举例来说，对一个命题：所有的天鹅都是白色的。这是一个全称命题，声明对于某类事物全体（所有的天鹅），都有某个性质（是白色的）。为了说明这个命题不是真的，只需要举出一个例子，其对象属于这类事物，但不具有命题中声称的性质就可以了。这样的例子称为反例：一只不是白色的天鹅就是这个命题的反例。 应用 数学中的应用 数学中，反例常被用于证明之中。有许多数学猜想或命…