反证法（英语：proof by contradiction；拉丁语：reductio ad absurdum）是一种在经典逻辑中有效的数学证明方法，适用于证明一个数学命题为真。当命题A为假时，可应用反证法到\lnot A。反证法是一种间接证明方法，常用于难以直接证明的情形。

反证法的操作步骤是：

假设原命题的否定为真；

经过一系列正确的推理，得出根据矛盾律知恒为假的矛盾；

根据否定後件律，矛盾的根源只可能是原命题的否定为假（即假设不成立）；

根据排中律，知原命题为真。

反证法中得到的矛盾，有以下三种可能：

与已知条件矛盾；

与已知定理、公理、定义、法则或显然成立的事实等矛盾；

与假设矛盾。

理據
給出命題 p 和命題 \bar{p}（非 p），根據排中律，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以如果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題 q 和命題 \bar{q}（非 q），根據無矛盾律，兩者同時為真的情況為假。給出命題 \bar{p} 和 r，根據否定後件律，如果若 \bar{p} 成立時出現 r，則 r 為假時 \bar{p} 即為假。反證法在要證明 p 時，透過顯示出若 \bar{p} 成立時出現矛盾（q 和 \bar{q}），即 \bar{p} 為假，從而證明 p 為真。

例子
单称命题：\sqrt{2}是无理数的证明（古希腊）
证明：假设原命题不成立，即\sqrt{2}不是无理数，那么\sqrt{2}是有理数{{NoteTag|1=这里用到了隐含前提：\sqrt{2}是实数。在实数集中，有理数集与无理数集互为补集（不交且并集为全体实数），二者非此即彼，满足反证法的排中律要求。}}，根据有理数的定义，\sqrt{2}可以写成 \frac{p}{q} 的形式，其中 p、q 皆為正整數且 p、q 互质。等式两边同乘q得p=\sqrt{2}\, q，故p^2=2 q^2，由此可知 p^2是偶数，所以 p 也是偶数。因此可设 p=2s，從而 p^2 = 4s^2，代入上式，得q^2=2s^2。同理可知 q^2也是偶數，故 q 也为偶数。此时 p、q 均为偶数，不互质，这与 p、q 互质的初始假设矛盾{{NoteTag|1=本证明的核心矛盾是「p,q互质」的前提与推导得出的「p,q不互质」相冲突。事实上，反证法初始假设中「p,q互质」并非必需条件：若假设\sqrt{2}为有理数时不附加互质约束，重复上述推导可得到无穷多组数值不断缩小的正整数解，这正是无穷递降法的证明思路，无穷递降法本质上是反证法的一种特殊形式。}}。因此原假设不成立，\sqrt{2}为无理数。

全称蕴含式：\forall a,b \in \mathbb{Z}，(a+b\sqrt{2} =0) \rightarrow b=0.的证明
证明：反证法。

假设原命题的否定为真，即假设：\exists a_0 ,b_0 \in \mathbb{Z}, (a_0 + b_0 \sqrt{2}=0)\land \lnot (b_0 =0)为真，

则b_0 \neq 0，推出\sqrt{2} = \cfrac{a_0}{b_0}，这是矛盾，因为无理数\sqrt{2}是不可能等于有理数\cfrac{a_0}{b_0}的。因此假设不成立，即原命题的否定为假，故原命题为真。

其他可用反證法證明的例子
數學上有許多的定理可用反證法來證明，以下是一小部分的例子：
#证明有无限多个质数。
#任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
#现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
#集合 S = \{x: 0 没有最小值。
#设 n 是大于1的整数，若所有小于或等于\sqrt{n}的质数都不能整除 n，则 n 是质数。
#已知三角形ABC是锐角三角形，且\angle A>\angle B>\angle C。求证：\angle B>45^\circ。
#已知 a、b 为正实数，求证：\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}。
#已知 a、b、c、d 是实数，且ad-bc=1，求证：a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\neq 1。
#一個群若同時是交換群和單群，則該群是循環群
#若一個循環群是單群，則該群的階為質數
#若一個循環群的階為質數，則該群為單群
#鴿籠原理

数学家哈代关于反证法的名言
*英國數學家高德菲·哈羅德·哈代在他的文章《一個數學家的辯白》描述：「反證法是數學家的拿手好戏。它比任何棋手弃子取胜的策略都更高明：棋手可能愿意丢车保帅，但數學家卻是把全盘置诸死地而后生。」

辨析——数学教育中的反证法
反证法一词，在不同地区、不同数学圈子里有不同的含义。

高中数学教育中的反证法

• 台湾高中数学教育圈常将英文'proof by contradiction'翻译为"归谬证法"，将英文'proof by contrapositive'翻译为"反证法"。
• 在香港高中数学教育圈，'proof by contradiction'翻译为“反证法”或者“归谬法”，而'proof by contrapositive'翻译为逆否命题证明法（或简称逆否证法）。
• 在中国大陆高中数学教育圈，普通高中教学中往往将'proof by contrapositive'和'proof by contradiction'杂糅在一起，称为“反证法”，实际指代的和台湾高中数学教育圈的"反证法"之意类似，证法的内容主体都是'proof by contrapositive'，原理都是原命题和逆否命题同真假，但却用了“导出矛盾”的'proof by contradiction'框架的说法。'proof by contrapositive'的名词在大陆西元2017年高中数学课纲中没有提到，因为课纲已删除了四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题），高中阶段不再出现逆否命题证明法这一名词，只以反证法之名行逆否命题证明法（'proof by contrapositive'）之实。

反证法是中学数学到大学数学教育衔接的难点之一，在不同国家地区都是一个教育难题。

大学数学教育中的反证法
大学数学的中文教材，对反证法的定义回归到严谨的数学定义，均指'proof by contradiction'；并且大学数学教材严格区分反证法（'proof by contradiction'）与逆否命题证明法（'proof by contrapositive'）。

相關條目

• 歸謬法
• 排中律
• 矛盾律
• 否定后件律
• 直覺主義邏輯：一種不承認排中律的邏輯系統
• 數學構成主義
• 可反證性
• 逆否命题法（对位证明法）
• 悖论
• 反例
• 无穷递降法

註釋
参考
進一步閱讀
J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction*, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6