对位证明法

对位证明法（，又或者），或称否定证明法、逆否命题法，是逻辑數學的其中一個證明方法。其与反证法相似，但是是不同的概念。根據邏輯，「A\to B」等於「\neg B\to \neg A」，即取其逆否命题。

需要注意，对位证明法与反证法不同。

定義
给予给予初始实质条件命题“若P，则Q”：A\to B，对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q，则非P”：\neg B\to \neg A的真值。

逻辑上，对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的真值表证明，即证明A\to B和\neg B\to \neg A的真值完全一样：

例子

反證法与对立證明的分別
反證法：假設 \neg A 正确，\neg A\to B，發現 B 不对，於是證明 A 正确。

否定證明：證明 A\to B 正确，於是转换證明 \neg B\to \neg A 正确。

證明例子
證明「假設 x^2 是雙數，则x 都會是雙數。」

證明：

逆否命题：「假設 x 不是雙數，则 x^2 也不是雙數。」

換句話講，即係「假設 x 是單數，则 x^2 也是單數。」

因為 x 是單數，所以 x=2k+1,k\in\Z 的k是整数。

x^2=(2k+1)^2=4k^2+2k+1=2(2k^2+k)+1

因為 2k^2+k 是整数，所以 x^2 是單數。

集合論例子
如果 A,B,C,D 都是集（），而他们符合 C\backslash D\subset A\cap B 和 x\in C。證明如果 x\notin A，则 x\in D。

證明：

如果用直接證明，會很麻烦。但是，如果利用对立證明，即假設 x\notin D则会简单得多。

因為 x\in C，而 C\backslash D\subset A\cap B，所以 x\in A\cap B。

这样 x\in A 一定成立。

更多例子
以下命題都可以用对立證明证真：

参见

參考