反對稱矩陣
在線性代數中，反對稱矩陣（或稱斜對稱矩陣）指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足： :AT = − A 或寫作A = (a_{ij})，各元素的關係為： :a_{ij} = -a_{ji} \,\! 例如，下例為一個斜對稱矩陣： :\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{bmatrix} 在非偶数域中，斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。 例子 :\b…
标签：#矩陣
共 51 篇文章
對稱矩陣
在線性代數中，對稱矩陣（）指轉置矩陣和自身相等方形矩陣。 :A = A^{\textrm{T}} \ \! 對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作A = (a_{i j})，則对所有的i和j， :a_{i j} = a_{j i} \ \! 下列是3×3的對稱矩陣： :\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6\end{bmatrix} …
正交矩阵
在矩阵论中，正交矩阵（），又稱直交矩陣，是一個方块矩阵Q，其元素為实数，而且行向量與列向量皆為正交的单位向量，使得該矩陣的转置矩阵為其逆矩阵： :Q^T = Q^{-1} \Leftrightarrow Q^T Q = Q Q^T = I . \,\! 其中，I為單位矩陣。正交矩陣的行列式值必定為+1或-1，因為： :1 = det(I) = det(Q^T Q) = det(Q^T)det(Q) = (det(Q))^2 \Right…
沃尔什矩阵
图像中]] 沃尔什矩阵（）是一个维度为2^n的方阵，其中n为自然数。该矩阵由-1和1组成，其所有的行与列都两两正交，即点积为0。这一概念由美国数学家约瑟夫·L·沃尔什于1923年提出，故而得名。 沃尔什矩阵用于计算沃尔什变换，在信号处理操作中的有实际应用。 公式 维度为2^k（其中k \in N）的阿达马矩阵可由递推的方式进行定义： :\begin{align} H\left(2^1\right) &= \begin{bmatrix} …
度数矩阵
在数学领域图论中，无向图的度数矩阵（）是一个对角矩阵 ，其中包含的信息为的每一个顶点的度数，也就是每个顶点相邻的边数。 它可以和邻接矩阵一起使用以构造图的拉普拉斯算子矩阵（拉普拉斯矩阵是度数矩阵和邻接矩阵的差值）。 定义 给定一个图 G=(V,E) 与 |V|=n， G的度数矩阵 D是一个 n \times n的对角线矩阵，其定义为 : d_{i,j}:=\left\{ \begin{matrix} \deg(v_i) & \mbox{…
转置矩阵
在線性代數中，矩陣A的轉置（）是另一个矩陣AT（也寫做Atr, tA, At或A′）由下列等價動作建立： 把A的行寫為AT的列 把A的列寫為AT的行 形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣 :A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji} for 1 \le i \le n, 1 \le j \le m。 注意：\mathbf{A}^{\mathrm T}（轉置矩陣）與\mathbf{A}^{-1}（逆矩陣）不同。 例子…
循环矩阵
在线性代数中，循环矩阵是一种特殊形式的常對角矩陣，它的列向量的每个元素都是前一个列向量各元素依次右移一个位置得到的结果。由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵，所以在数值分析中有重要的应用。 定义 形式为 :C = \begin{bmatrix} c_0 & c_{n-1} & \cdots & c_2 & c_1 \\ c_1 & c_0 & c_{n-1} & & c_2 \\ \vdots & c_1 & c_0 & \ddots…
辛矩陣
在數學中，辛矩阵是指一個2n \times 2n的矩阵M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足 :M^T \Omega M = \Omega\,。 其中M^T表M的轉置矩陣，而\Omega是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為 :\Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix} 或 :\Omega = \begin{bmatrix} \begin…
Davis-Kahan定理
Davis-Kahan定理（）是随机矩阵分析中的一个重要的基础性定理。它的基本内容是，如果两个矩阵在某种合适的模之下相近，且有足够的特征裂隙，那么它们相应的特征向量子空间也相似。 定理内容 两个线性空间的夹角 考虑两个单位列正交矩阵 V,\hat{V}\in\mathbb{R}^{n\times d} （“单位列正交”意为：其满足 V^TV = \hat{V}^T\hat{V} = I_d） 之列向量分别张成的线性子空间，那么这两个子空…
埃尔米特矩阵
埃尔米特矩阵（，又译作厄米特矩阵，厄米矩阵），也稱自伴隨矩陣，是共轭對稱的方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。例如\begin{bmatrix} 3&2+i\\ 2-i&1 \end{bmatrix}就是一个埃尔米特矩阵。 显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数。对于实矩阵，如果它是对称矩阵，则它也满足埃尔米特矩阵的定义，即，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。 定义 对于矩阵A…
逆矩阵
逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。在线性代数中，給定一个n 階方陣\mathbf{A}，若存在一n 階方陣\mathbf{B}，使得\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n，其中\mathbf{I}_n为n 階单位矩阵，則稱\mathbf{A} 是可逆的，且\mathbf{B}是\mathbf{A}的逆矩陣，記作\mathbf{A}^{-1}。 只有方陣（n×n 的矩陣）才可…
稀疏矩阵
稀疏矩阵（），在数值分析中，是其元素大部分为零的矩阵。反之，如果大部分元素都非零，则这个矩阵是稠密(dense)的。在科学与工程学领域中求解线性模型时经常出现大型的稀疏矩阵。 在使用计算机存储和操作稀疏矩阵时，经常需要修改标准算法以利用矩阵的稀疏结构。由于其自身的稀疏特性，通过压缩可以大大节省稀疏矩阵的内存代价。更为重要的是，由于过大的尺寸，标准的算法经常无法操作这些稀疏矩阵。 定义 给定一个N×M的稀疏矩阵A，其第n行的行带宽定义为：…
子矩陣
子矩陣（）是在矩陣選取部份行、列所組成的新矩陣。 例如 : A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{bmatrix} : A[1,2; 1,3,4]=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} & …
吉文斯旋转
在数值线性代数中，吉文斯旋转（）是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于华莱士·吉文斯，他在1950年代工作于阿贡国家实验室时把它介入到数值分析中。 矩阵表示 吉文斯旋转表示为如下形式的矩阵 :G(i, j, \theta) = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots & &…
变换矩阵
变换矩阵（）是数学线性代数中的一个概念。线性变换采用矩阵表示时，如果T是一个把Rn映射到Rm的线性变换，且x是一个具有n个元素的column vector，那么 :T( \vec x ) = \mathbf{A} \vec x 我们把m×n的矩阵A，称为*T的变换矩阵。 应用 任意线性变换都可以用矩阵表示为易于计算的一致形式，并且多个变换也可以很容易地通过矩阵的相乘连接在一起。 线性变换不是唯一可以用矩阵表示的变换。R**n维的仿射变换…
交叉格拉姆矩陣
交叉格拉姆矩陣（cross Gramian）是控制理论中的名詞，會用W_X或W_{CO}來表示，是用來判斷線性系統可控制性及可觀測性的格拉姆矩阵。 針對線性的时不变線性系統 :\dot{x} = A x + B u \, :y = C x \, 其交叉格拉姆矩陣定義為： :W_X := \int_0^\infty e^{At} BC e^{At} dt \, 也是以下西爾維斯特方程的解： :A W_X + W_X A = -BC \, …
黑森贝格矩阵
在线性代数中，黑森贝格矩阵（Hessenberg matrix）是一种特殊的方阵，与三角阵很相似。一个上黑森贝格矩阵H的次对角元以下的所有元素都为0（hij=0,i>j+1），一个下黑森贝格矩阵H的次对角元以上的所有元素都为0（hij=0,i\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix} 是…
代數Riccati方程
代數Riccati方程（algebraic Riccati equation）是最优控制的非線性方程，和連續時間或是離散時間下，無限時間（infinite-horizon）的最优控制有關。 標準的代數Riccati方程如下： 連續時間代數Riccati方程（CARE）： : A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0 \, 離散時間代數Riccati方程（DARE）： : P = A^T P A -(A…
狄拉克矩陣
在理論物理學中，狄拉克矩陣 \{ \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3 \} ，又稱γ矩陣，是狄拉克方程中所引入的四个矩阵，它们是泡利矩阵的推广，满足反对易关系： ::\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I_4 ，其中…
散射矩阵
散射矩阵（scattering matrix），又称S矩阵（S-matrix），是物理学中描述散射过程的一个主要观测量。 概述 现代高能物理的发展，同其他物理学一样是理论和实验的互动，而这种互动主要的桥梁就是散射矩阵。 假设散射源为很好的定域散射源，与被散射粒子的相互作用局限在有限的空间范围内，那么，无穷远时间以前粒子处于一个自由态，称为入态，记为|\Psi\rangle_{in}；无穷远时间之后粒子也是处于一个自由态，称为出态，记为|…