邏輯矩陣
邏輯矩陣（或稱布林矩陣、關係矩陣）是由布林域\boldsymbol{B} = \{0, 1\}組成的矩陣。如此的矩陣可用以表示一對集合之間的二元關係。 關係的矩陣表示 給定集合X = \{x_i\}_{i \in I}和Y = \{y_j\}_{j \in J}，其中索引集I和J皆為正整數集\mathbb{Z}^+的初始段，即(\forall n \in I)(\{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le n\} \s…
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阿达马矩阵
在数学中，阿达马矩阵（）是一種特殊的正交矩陣，具有一些重要的性質和應用。它的特點是每個元素只能是+1或-1，並且每行（或每列）之間的內積為0，表示彼此正交。Hadamard矩陣的大小為2的冪次方，即維度為2^{n}\times2^{n} 。阿达马矩阵常用于纠错码，如 。阿达马矩阵的命名来自于法国数学家雅克·阿达马。 歷史 阿達瑪矩陣的歷史可以追溯到1893年，當時法國數學家雅克·阿達瑪（Jacques Hadamard）發現了一些具有特…
幻方
幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从1到N^2的连续整数组成，其中N为正方形的行或列的数目。因此N阶幻方有N行N列，并且所填充的数为从1到N^2。 幻方可以使用N阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数M_2(N)，如果填充数为1,2,\dots,N^2，那么有 :M_2(N) = \frac{N…
對角矩陣
對角矩陣（）是一类除主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此若n阶方块矩阵\mathbf{D} = (di,j)符合以下性質： d_{i,j} = 0 \mbox{ if } i \ne j \qquad \forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\} 則矩陣\mathbf{D}為對角矩陣。 例子 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 …
设计矩阵
设计矩阵（）在统计学和机器学习中，是一组观测结果中的所有解释变量的值构成的矩阵，常用X表示。设计矩阵常用于一些统计模型，如一般线性模型，方差分析中。 定义 通常情况下，设计矩阵的第i行代表第i次观测的结果，第j列代表第j种解释变量。如此一来，线性回归模型就可以用矩阵乘法表达为 : y = X \beta 其中X是设计矩阵，\beta是对应每一种解释变量的系数组成的系数向量，y是每一个观测对应的预测值构成的向量。 例子 算数平均 算数平均…
西爾維斯特方程
西爾維斯特方程（）是控制理论中的矩阵方程，形式如下： :A X + X B = C. 其中A_{n\times n}、B_{m\times m}及C_{n\times m}是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是复数。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A与-B沒有共同的特徵值。 AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的…
泡利矩陣
在數學和數學物理中，包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在包立表像（σz表像）可以寫成： :\begin{align} \sigma_1 = \sigma_x &= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \\ \sigma_2 = \sigma_y &= \begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 …
常對角矩陣
在線性代數中，常對角矩陣（又稱特普利茨矩陣）是指每條左上至右下的對角線均為常数的矩陣，不論是正方形或長方形的。例如： 任何這樣的n×n 矩陣 A ： : A = \begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \ldots & \ldots &a_{-n+1} \\ a_{1} & a_0 & a_{-1} & \ddots & & \vdots \\ a_{2} & a_{1} & \ddots &…
黑塞矩陣
海森矩陣（德語：Hesse-Matrix，英語：或），又譯作黑塞矩阵、海塞（赛）矩陣或海瑟矩陣等，是一個由多變量實值函數的所有二階偏導數組成的方陣，由德國數學家奧托·黑塞引入並以其命名。 定義 假設有一實值函數f(x_1, x_2, \dots, x_n)\,，如果 f\,的所有二階偏導數都存在並在定義域內連續，那麼函數f\,的黑塞矩陣為 :\mathbf{H} = \begin{bmatrix}\frac {\partial^2 f}…
羅森布羅克系統矩陣
羅森布羅克系統矩陣（）是在應用數學中，針對線性時不變系統的矩陣，可以將状态空间轉換為傳遞函數矩陣。此矩陣是英國控制學家霍華德·哈里·羅森布羅克在1967年所提出。 定義 考慮以下的線性時不變系統 :: \dot{x}= Ax +Bu, :: y= Cx +Du. 其羅森布羅克矩陣為 ::P(s)=\begin{pmatrix} sI-A & -B\\ C & D \end{pmatrix}. 此為多項式形式（polynomial for…
广义逆阵
广义逆（Generalized inverse），是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部份逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣A \in \mathbb{R}^{n\times m}及另一矩陣A^{\mathrm g} \in \mathbb{R}^{m\times n}，若A^{\mathrm g}滿足 AA^{\mathrm g}A = A，則A^{\mathrm…
零矩陣
在數學中，特別是在線性代數中，零矩陣即所有元素皆為0的矩陣。一些零矩陣的例子： : 0_{1,1} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ 0_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} . 零矩陣也表示將任意向…
空矩阵
空矩阵是指至少有一個維度為零的矩陣，亦即行数或列数为零的矩阵。最小的空矩陣為0×0矩陣。空矩陣亦可以是0×5或10×0等形式。空矩陣不會存在任何元素。 定義 空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个n \times 0和0 \times p的空矩阵相乘是一个n \times p的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己。 性質…
單位矩陣
在線性代數中，n階單位矩陣，是一個n \times n的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以I_n表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為I（或者E）。 : I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & …
一矩陣
在數學中，一矩陣又稱為全一矩陣，是指所有元素皆為1的矩陣，通常以符號J來表示，並以下標符號表示矩陣的維度，例如： :J_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix};\quad J_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix};\quad J_{2,5} = \begin{pmatrix} 1…
整数矩阵
数学裡的整數矩陣是指元素都是整數的矩阵。整數矩陣的例子包括邏輯矩陣（元素由0或1組成）、零矩陣、一矩陣、單位矩陣，以及图论中使用的邻接矩阵等。整數矩陣常用在组合数学裡。 範例 :\left(\begin{array}{cccr} 5 & 2 & 6 & 0\\ 4 & 7 & 3 & 8\\ 5 & 9 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & \!\!\!-3\\ 9 & 0 & 2 & 1\end{array}\right) an…
傳遞函數矩陣
傳遞函數矩陣（transfer function matrix）或傳遞矩陣（transfer matrix）是控制系統以及許多工程領域的名詞，是將SISO系統中的传递函数擴展到MIMO系統。矩阵表示系統輸出跟輸入之間的關係。在線性非時變系統中是格外有用的工具，因為其傳遞函數矩陣可以用S平面來表示。 在一些只由被動元件組成的系統中，可以清楚的區分哪些變數是輸入，哪些是輸出。在電子系統中的作法，將所有電壓變數組合成一組，視為是傳遞函數矩陣的…
矩阵分析
矩阵分析（英语：matrix analysis） 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算（加法、矩阵乘法等）、矩阵函数、矩阵的特征值（特征值分解）等。 矩阵空间 数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 Mmn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当 m \neq p 或 n \neq q 时，空间 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致，例如 M32(F) ≠ M23(F)。 两个 m×n …
对角优势矩阵
对角占优矩阵是指一矩陣的每一橫行，對角線上元素的大小大於或等於同一橫行其他元素大小的和，一矩陣A為对角占优矩阵若 :|a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{for all } i, \, 其中aij為第i行第j列的元素。 上述的定義中用到大於等於，其條件較鬆，因此有時會稱為弱对角占优矩阵，若上述的定義用大於代替大於等於，則稱為強对角占优矩阵。对角优势矩阵可以指弱对角占优矩阵，也可…
分塊矩陣
在數學的矩陣理論中，一個分塊矩陣或是分段矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣，這些較小的矩陣就稱為區塊。換個方式來說，就是以較小的矩陣組合成一個矩陣。分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進行劃分。分塊矩陣中，位在同一行（列）的每一個子矩陣，都擁有相同的列數（行數）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是…