矩阵分析

矩阵分析（英语：matrix analysis） 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算（加法、矩阵乘法等）、矩阵函数、矩阵的特征值（特征值分解）等。

矩阵空间
数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 Mmn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当 m \neq p 或 n \neq q 时，空间 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致，例如 M32(F) ≠ M23(F)。

两个 m×n 的矩阵 A 和 B 在空间 Mmn(F) 相加可以得到空间 Mmn(F) 下的一个新矩阵：

: \mathbf{A},\mathbf{B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf{A} + \mathbf{B} \in M_{mn}(F)

与数域 F 中的数 α 相乘，也可以得到空间 Mmn(F) 下的矩阵：

: \alpha \in F \,,\quad \alpha \mathbf{A} \in M_{mn}(F)

以上两条性质可以总结为：在矩阵空间 Mmn(F) 下的两个矩阵 A 和 B 线性组合可以得到向量空间Mmn(F) 下的一个新矩阵：

: \alpha \mathbf{A} + \beta\mathbf{B} \in M_{mn}(F)

其中 α 和 β 是数域 F 中的数。

所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合，这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如，对于实数域下的 2×2 矩阵空间 M22(ℝ)，一组可行的基矩阵可以是：

: \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\,,\quad
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\,,\quad
\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\,,\quad
\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\,,

因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为：

: \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+b\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+c\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}
+d\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\,,

其中 a, b, c,d 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。

行列式
行列式是方阵的重要性质之一，它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。
矩阵的特征值和特征向量
一个 n\times n 矩阵的特征值 x 和特征向量 \lambda 定义为：

Ax=\lambda x

也就是说，一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个 n\times n 的矩阵有 n 个特征值，它们是矩阵特征多项式的根：

p_\mathbf{A}(\lambda) = \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0

其中 \mathbf{I} 为 n\times n 的单位矩阵。

相似矩阵
如果两个n\times n的矩阵A和B可以用相似变换联系起来，则两个矩阵相似：

\mathbf{B=PAP}^{-1}

可逆矩阵\mathbf{P}被称为相似变换矩阵。

酉相似