傳遞函數矩陣

傳遞函數矩陣（transfer function matrix）或傳遞矩陣（transfer matrix）是控制系統以及許多工程領域的名詞，是將SISO系統中的传递函数擴展到MIMO系統。矩阵表示系統輸出跟輸入之間的關係。在線性非時變系統中是格外有用的工具，因為其傳遞函數矩陣可以用S平面來表示。

在一些只由被動元件組成的系統中，可以清楚的區分哪些變數是輸入，哪些是輸出。在電子系統中的作法，將所有電壓變數組合成一組，視為是傳遞函數矩陣的輸出，再將電流變數組合成另外一組起來，視為是輸入。這樣形成的傳遞函數矩陣中，每個元素都是阻抗。這種阻抗（及阻抗矩陣）的概念也用到其他能量的學科中，特別是力學及聲學。

許多控制系統包括不同的能量形式，其傳遞函數矩陣也會有不同的單位，一方面需要描述其中在各能量形式之間轉換的换能器，另一方面也要描述整體的系統。若系統中有適當能量流動的模型，需要選擇對應的變數，以方便模型的建立。
一般
有個輸出及個輸入的MIMO系統，可以用矩陣來表示，其中的每一個元素都是由一個輸入轉換到一個輸出的傳遞函數。例如針對三個輸入，二個輸出的系統，可以寫成

:
\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
g_{21} & g_{22} & g_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}

其中是輸入，是輸出，而是傳遞函數。若寫成矩陣運算的形式，可以寫成

: \mathbf Y = \mathbf G \mathbf U

其中是輸出的向量，是傳遞函數矩陣，而是輸入向量。

在許多應用中，要分析的系統是线性时不变（LTI）系統。此時，可以將傳遞函數矩陣以拉普拉斯变换（連續時間系統的例子）或Z轉換（離散時間系統的例子）來表示。因此可以寫成

: \mathbf Y (s) = \mathbf G (s) \mathbf U (s)

其中變數及矩陣都以來表示，是由於拉氏轉換所產生，S平面的複變頻率。此條目中的例子都假設是此情形。在離散時間系統下，會被Z轉換的所代替，但在分析時沒有影響。若矩陣是真分有理矩陣（proper rational matrix），也就是每一個元素都是真分傳遞函數時，格外有用，可以應用状态空间的概念。

在系統工程中，系統傳遞函數矩陣會分為二部份：是待測的系統，是控制器。的輸入是的輸入，的輸出是的輸入，的輸出是的輸出
電子系統
電子系統中的輸入變數及輸出變數往往不容易區分，可能會因環境及觀點而不同。在這種情形下，表達能量流進或流出系統位置的可能會比輸入或是輸出更理想。常常會針對一個埠（）定義二個變數：埠的電壓（）及流進的电流。例如，雙埠網路可以定義如下：

:
\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

其中是，或是z參數。如此名稱的原因是因為其中每一個元素的單位都是阻抗，而且表示一個埠的電壓及另一埠電流之間的關係。z參數不是表達雙埠網路唯一的方式。有六種基本的矩陣表示式，每一種都有適用的特定網路拓樸。不過若是超過二埠的多埠網路，只有二種矩陣表示式可以適合，分別是前面提到的z參數，以及其倒數或y參數

為了說明埠電壓和電流。以及輸入及輸出之間的關係，考慮以下簡單的分壓電路。若只要用輸入電壓(來表示輸出電壓，可以寫成下式

:
\begin{bmatrix} V_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} V_1 \end{bmatrix}

可以視為是1×1傳遞函數矩陣的特例。若埠2沒有電流流出，此表示式可以正確預測埠2的電壓，但若負載電流增加，預測的電壓就會越來越不準。若希望反過來使用這個電路，用電壓驅動埠2，計算埠1的電壓，就算埠1完全沒有負載電流，結果也不正確。其預測的結果會是埠1的輸出電壓比埠2的輸入電壓要大，在這種純電阻電路下是不可能的。為了要正確的預測電路的行為，也需要考慮從埠流過的電流，這也就是傳遞函數矩陣的目的，其阻抗矩陣為

:
\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
R_1 + R_2 & R_2 \\
R_2 & R_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

可以在各輸入及輸出條件下，完全描述其行為。

在微波頻率下，很難使用用電流及電壓組成的傳遞矩陣。電壓很難直接量測，電流也不可能。而量測技術中需要的開路及短路也無法實現。若是用波导管實現，電路的電壓及電流是沒有意義的。因此傳遞函數矩陣會用其他的變數。例如使用傳送進入的功率以及反射的功率，這個用微波頻率分布元件电路的传输线模型技術即可求得。這類參數中，最廣為人知的是，也稱為是s參數。

力學系統及其他系統
電路上阻抗的概念，可以透過轉換力學阻抗，應用在力學系統或是其他系統上，因此阻抗參數以及其他雙埠網路的參數可以用在其他力學領域中。在此作法中，效果變數（effort variable）視為是電壓，而流變數（flow variable）視為是電流。在只考慮平移的力學系統中，效果變數和流變數分別是力及速度。

用雙埠網路表示機械元件的行為有其好處，因為元件可能會反向運作，其效果和負載在輸入端或是輸出端有關。例如齒輪組常常會用其齒輪比表示，是SISO轉換函數。但齒輪組輸出又用來驅動輸入軸，就需要MIMO分析。在此例中，效果變數是力矩，而流變數（flow variable）是角速度。其z參數的傳遞函數矩陣為

:
\begin{bmatrix} T_1 \\ T_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \end{bmatrix}

不過，z參數可能不太適合描述齒輪組。齒輪組是变压器的類比，而h參數適合描述变压器，因為其中直接用到匝數比（類似齒輪組的齒輪比），其h參數的傳遞函數矩陣是

:
\begin{bmatrix} T_1 \\ \omega_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
h_{11} & h_{12} \\
h_{21} & h_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \omega_1 \\ T_2 \end{bmatrix}

:其中
:是輸出無負載時的速度比
:是輸入軸卡住時，反向的力軸比，等於理想齒輪的前饋速度比
:是輸出軸沒有負載時，的輸入旋轉力學阻抗
:是輸入軸卡住時，輸出軸的旋轉力學导纳。

若是沒有摩擦力的理想齒輪，可以簡化成下式

:
\begin{bmatrix} T_1 \\ \omega_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & N \\
N & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \omega_1 \\ T_2 \end{bmatrix}

其中是齒輪比

換流器及致動器
有些系統中利用了不同形式的能量（例如電能、機械能），並且在這些能量之間進行轉換。傳遞函數矩陣需要能透過埠來處理這些不同能量領域中的成份。在机器人学及机械电子学中，會用到执行器。一般會包括一個换能器，將電子領域中的控制系統信號轉換為力學領域中的運動。控制系統也需要传感器偵測運動，並且轉換為電子領域的信號，才能透過回授系統控制其運動。其他系統中的感測器可能是將其他領域中（例如光學、聲音、熱、流體流動或化學）的信號轉換為電子信號，例如機械濾波器會需要換流器，將電子訊號轉換為機械的訊號，再將機械的訊號轉換為電子的訊號。

在电动机械学中，致動器一般會由電子的控制器來驅動，需要換流器的輸入是電子領域，其輸出為力學領域。可以簡單的用SISO轉移函數來處理，不過可能無法考慮到負載電流的影響。因此比較精準的表示法會用二輸入，二輸出的MIMO傳遞函數矩陣，型式如下：

:
\begin{bmatrix} V \\ F \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I \\ v \end{bmatrix}

其中是致動器的施力，是致動器的速度。矩陣的元素會有不同的單位；是電子的阻抗，是機械的阻抗，另外二個阻抗是跨导，有不同的單位

聲學系統
声学系統是流體動力學中的子領域，兩者關注的輸入及輸出變數是压强，以及體積流率（若是探討聲音在固體中的傳播，可能就要考慮力學系統中的變數，力及速度）。像在排氣系統中的消音器，就可以用聲學系統中的二埠系統來表示。其轉換矩陣表示如下：

:
\begin{bmatrix} P_2 \\ Q_2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
T_{11} & T_{12} \\
T_{21} & T_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} P_1 \\ Q_1 \end{bmatrix}

此處的是傳輸參數（transmission parameters），稱為ABCD參數。也可以用z參數來表示此系統，不過傳輸參數在數學的計算有其方便之處，若一個網路的輸出連接另一個網路的輸入時，只要利用矩陣乘法就可以得到新的轉換矩陣。

不同的變數轉換方式
若系統中包括了不同的能量系統，在考慮不同系統的類比時需要格外留意。選擇的方式會和分析希望得到的結果有關。若希望正確的為整個系統中的能量流來建模，則系統中的二個變數相乘後需要是功率（功率共軛變數），這兩個變數需要可以映射到另一個系統的功率共軛變數。一系統中的功率共軛變數不唯一，因此需要在整個系統中用類似的映射方式。

一種常見映射方式（此條目例子中所用的方式）是將各能量系統中的效果變數（會產生動作的變數）互相映射，再將各能量系統中的流變數（表示實際動作的變數）。每一對效果變數及流變數都是功率共軛變數，此系統稱為，因此效果變數和流變數的比例類似電子電路中的阻抗。

除了阻抗類比外，還有另外兩種功率共軛變數的類比方式。將機械系統中的力類似為電路中的電流（若是阻抗類比，會類比為電壓）。此一類比方式常用在機械濾波器的設計中，也常用在音響電子學中。此映射的好處是維持各系統的網路拓樸，但無法將阻抗類比。Trent類比將功率共軛變數分為across變數及through變數，依其作用是會在元件兩端作用，還是會穿過元件作用而定。Trent類比大部份的結果都和流動類比相同，但流體力學（及聲學）領域不同。Trent類比會將流體力學中的壓強類比為電壓（類似阻抗類比的作法），而機械系統中的力，因為會「穿過」元件作用，仍會類比為電流。

歷史
线性代数方程的矩陣表示式已使用一段時間。儒勒·昂利·庞加莱在1907年首次用二個和電機變數（電壓和電流）有關方程來表示機械變數（力和速度）。Wegel在1921年首次用類似電機阻抗的方式來說明力學阻抗。Cruickshank在1955年提出較嚴謹的基礎，但還沒有完整的通用性。1956年的Kavanagh是第一個完整處理通用性的人，建立了系統和控制的矩陣關係，也提供控制系統可行性的判斷準則，可以讓受控系統有符合預期的行為。

相關條目
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參考資料
文獻

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