西爾維斯特方程（）是控制理论中的矩阵方程，形式如下：
:A X + X B = C.
其中A_{n\times n}、B_{m\times m}及C_{n\times m}是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是复数。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A与-B沒有共同的特徵值。
AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的谱不互交。
解的存在及唯一
利用克罗内克积以及\operatorname{vec}，可以改寫西爾維斯特方程為
: (I_m \otimes A + B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,
其中I_k為k \times k單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為mn \times mn維的線性系統。
;命题
假定複數的 n\times n矩陣A和B，西爾維斯特方程針對任意C有唯一解X，若且唯
若A和-B沒有共同的特徵值。
;證明
考慮線性轉換S:M_n\rightarrow M_n，X\mapsto AX+XB.
(i)假設A和-B沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 f(z)和g(z)的最大公因式為1，因此存在複數多項式p(z)和q(z)，使得p(z)f(z)+q(z)g(z)=1。依照Cayley–Hamilton定理，f(A)=0=g(-B)；因此g(A)q(A)=I。令X為S(X)=0的解，則 AX=-XB，重複上述作法，可得X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0。因此依照秩－零化度定理，S是可逆的，因此針對所有的C都存在唯一的解X。
(ii) 相對的，若假設s是A和-B的共同特徵值，則\bar{s}也是A^H的特徵值。存在非零向量 v和w使得A^Hw=\bar{s}w以及Bv=-sv。選擇C使得Cv=w，則AX+XB=C沒有解X，考虑 \langle(AX+XB)v,w\rangle=\langle Cv,w\rangle=\langle w,w\rangle，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 \langle(AX+XB)v,w\rangle=\langle Xv,A^Hw\rangle-s\langle Xv,w\rangle=s\langle Xv,w\rangle-s\langle Xv,w\rangle=0。
Roth消去法則
假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣 \begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}和\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）。
可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則
:\begin{bmatrix}I_n & X \\ 0 & I_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A&C\\0&B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & -X \\ 0& I_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&0\\0&B \end{bmatrix}.
Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中。
數值解
西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用將矩陣A和矩陣B轉換為舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算，計算複雜度是\mathcal{O}(n^3)個數學運算。也可以參考其中的sylvester函數。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解。
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腳註
參考資料
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