邏輯矩陣

邏輯矩陣（或稱布林矩陣、關係矩陣）是由布林域\boldsymbol{B} = \{0, 1\}組成的矩陣。如此的矩陣可用以表示一對集合之間的二元關係。

關係的矩陣表示
給定集合X = \{x_i\}_{i \in I}和Y = \{y_j\}_{j \in J}，其中索引集I和J皆為正整數集\mathbb{Z}^+的初始段，即(\forall n \in I)(\{x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le n\} \subseteq I)（J同理），換句話說，I和J皆為從1開始的、連續的正整數的集合（可為有限集或\mathbb{Z}^+本身）。
則對於一個從集合X到Y的二元關係R（即R \subseteq X \times Y），定義

m_{ij} = \begin{cases}
1, & (x_i, y_j) \in R \\
0, & (x_i, y_j) \notin R
\end{cases}.

則關係R可用如下的矩陣M來表示：

M = (m_{ij})_{i \in I, j \in J}.

示例
自然數的集合\{1, 2, 3, 4\}上的“整除（|）”關係，是由以下的自然數有序對組成：

\{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)\}.

其所對應的邏輯矩陣表示為：

\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

任意集合X上的“恆等關係（I_X）”是如下的集合：

\{(x, x) : x \in X\}.

其所對應的邏輯矩陣表示為：

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots \\
0 & 1 & 0 & \cdots \\
0 & 0 & 1 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}.

也就是單位矩陣I_。

性質
如果將布林域視為半環，其中加法對應於邏輯或，乘法對應於邏輯且，則兩個關係的複合，可視為兩者對應關係矩陣的相乘。