埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵（，又译作厄米特矩阵，厄米矩阵），也稱自伴隨矩陣，是共轭對稱的方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。例如\begin{bmatrix}
3&2+i\\
2-i&1
\end{bmatrix}就是一个埃尔米特矩阵。

显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数，其特征值也是实数。对于实矩阵，如果它是对称矩阵，则它也满足埃尔米特矩阵的定义，即，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。
定义
对于矩阵A\in C^{n \times n} ，若对A中任意元素a_{i,j}和a_{j,i}有：

:a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}

其中\overline{(\cdot)}为共轭算子，则记作 A = A^H ，其中{(\cdot)}^H为共轭转置，称 A 为埃尔米特矩阵。

性质

• 若 A 和 B 是埃尔米特矩阵，那么它们的和 A+B 也是埃尔米特矩阵；而只有在 A 和 B 满足交换性（即AB = BA）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。
• 可逆的埃尔米特矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1} 仍然是埃尔米特矩阵。
• 如果 A 是埃尔米特矩阵，对于正整数 n，A^n 是埃尔米特矩阵。
• 方阵 C 与其共轭转置的和C + (C^*)是埃尔米特矩阵，
• 方阵 C 与其共轭转置的差C - C^*是斜埃尔米特矩阵。
• 任意方阵 C 都可以用一个埃尔米特矩阵 A 与一个斜埃尔米特矩阵 B 的和表示：

::C = A+B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^)。

• 埃尔米特矩阵是正规矩阵，因此埃尔米特矩阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。
• n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为 n^2 的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
• 如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵。

埃尔米特序列
埃尔米特序列（亦或埃尔米特向量）指满足下列条件的序列 a_k（其中 k = 0, 1,..., n）：
: \Im(a_0) = 0 \quad \mbox{and} \quad a_k = \overline{a_{n-k}} \quad \mbox{for } k=1,2,\dots,n。
若 n 是偶数，则 a_{\frac{n}{2}}是实数。

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之，一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

参见

• 共轭转置
• 正规矩阵
• 辛矩阵
• 酉群
• 酉算子
• 矩阵分解

参考资料