沃尔什矩阵

图像中]]
沃尔什矩阵（）是一个维度为2^n的方阵，其中n为自然数。该矩阵由-1和1组成，其所有的行与列都两两正交，即点积为0。这一概念由美国数学家约瑟夫·L·沃尔什于1923年提出，故而得名。

沃尔什矩阵用于计算沃尔什变换，在信号处理操作中的有实际应用。

公式
维度为2^k（其中k \in N）的阿达马矩阵可由递推的方式进行定义：
:\begin{align}
H\left(2^1\right) &= \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}, \\
H\left(2^2\right) &= \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
\end{bmatrix},
\end{align}
一般而言
:H\left(2^k\right) = \begin{bmatrix}
H\left(2^{k-1}\right) & H\left(2^{k-1}\right) \\
H\left(2^{k-1}\right) & -H\left(2^{k-1}\right)
\end{bmatrix} =
H(2) \otimes H\left(2^{k-1}\right),

其中2 \leq k且k \in N，⊗代表克罗内克积。
排列
根据符号变化的次数对所有的行进行重新排列。例如：

:H(4) = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
\end{bmatrix}

每行分别有0、3、1、2次符号变化，因此，我们对这些行进行重排：

:W(4) = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix},

这样，每行都有0、1、2、3次符号变化。
沃尔什矩阵的替代形式
顺序排序
沃尔什矩阵的行顺序可以通过阿达马矩阵首先经过位序顛倒排列，然后经过格雷码排列得到：

:W(8) = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix},

其中每行分别有0、1、2、3、4、5、6、7次符号改变。

参考文献