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代數Riccati方程

Wikipedia · 2024-05-12 维基百科 👁 1 阅读

代數Riccati方程（algebraic Riccati equation）是最优控制的非線性方程，和連續時間或是離散時間下，無限時間（infinite-horizon）的最优控制有關。

標準的代數Riccati方程如下：

連續時間代數Riccati方程（CARE）：

: A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0 \,

離散時間代數Riccati方程（DARE）：

: P = A^T P A -(A^T P B)(R + B^T P B)^{-1}(B^T P A) + Q.\,

P是未知數的n×n對稱矩陣，A、B、Q及R是已知实係數矩陣。

一般而言此方程式有許多的解，不過若有存在穩定解的話，希望可以找到穩定解。

名稱的起源
此方程名稱中有Riccati，是因為和Riccati方程的關係。連續時間代數Riccati方程（CARE）可以由相關矩陣值的Riccati微分方程的非時變解來驗證。離散時間代數Riccati方程（DARE）可以由矩陣值的Riccati微分方程的非時變解來驗證（類似離散時間LQR下的Riccati微分方程）。

離散時間的代數Riccati方程
在無限時間的最佳控制問題中，關注的是一些變數在相當時間之後的值，因此需在現在選定控制變數的值，讓系統在之後的時間都在最佳狀態下運作。控制變數在任意時間下的最佳值可以用Riccati方程的解以及狀態變數當時的觀測值求得。若觀測變數及控制變數都不只一個，Riccati方程就會是矩阵方程。

代數Riccati方程可以決定無限時間下非時變LQR控制器的解，以及無限時間下非時變LQG控制的解。這兩個是控制理论中的基礎問題。

典型的離散時間LQR問題，是要最小化以下的函數

:\sum_{t=1}^T (y_t^T Qy_t + u_t^T Ru_t)

其狀態方程如下

:y_t = Ay_{t-1} + Bu_t,

其中 y 是 n × 1 的狀態變數向量，u 是 k × 1 的控制變數向量，A 是 n × n 的狀態遞移矩陣，B 是 n × k 的控制係數矩陣，Q (n × n) 是對應半正定狀態损失函数矩陣，R (k × k) 是對應正定的控制損失函數矩陣。

從最後時間往前的推導可以找到每一個時間的最佳控制解

:u_t^*=-(B^TP_tB+R)^{-1}(B^TP_tA)y_{t-1},

其中對應正定cost-to-go矩陣 P 會依下式，配合P_T = Q，以逆向時間推導

: P_{t-1} = Q+A^TP_tA - A^TP_tB(B^TP_tB+R)^{-1}B^TP_tA, \,

這個就是離散時間的代數Riccati方程。P的穩態解和和T趨近無限大時的無限時間問題有關，可以將動態方程反覆迭代直到收斂，來求得P的穩態解，之後再將動態方程中的時間標註移除，來確認穩態解是否正確。

求解
若代數Riccati方程存在穩定解，求解器一般會設法找到唯一的穩定解。穩定解的意思是指用此解控制相關的LQR系統，可以使閉迴路的系統穩定。

針對CARE，其控制律為
:K = R^{-1} B^T P
閉迴路遞移矩陣為
: A - BK = A - B R^{-1} B^T P
其穩定的充份必要條件是所有的特徵值都有負的實部。

針對DARE，其控制律為
: K = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A
閉迴路遞移矩陣為
: A - BK = A - B (R + B^T P B)^{-1} B^T P A
其穩定的充份必要條件是所有的特徵值在複數平面的單位圓內。

代數Riccati方程的解可以用Riccati方程的的迭代或是矩陣因式分解求得。離散時間問題的一種迭代方式是由有限時間問題下的動態Riccati方程，每一次迭代時，矩陣中的值都是從最終時間往前一段有限時間內的最佳解，若進行無限長的迭代。就會分斂到特定矩陣，是無限時間內的最佳解。

針對大型系統，也可以用找特徵分解的方式求解。針對CARE，可以定義漢彌爾頓矩陣
: Z = \begin{pmatrix} A & -B R^{-1} B^T \\ -Q & -A^T \end{pmatrix}
因為\scriptstyle Z 是漢彌爾頓矩陣，若在虛軸上沒有特徵值，則會有恰好一半的特徵值會有負的實部。若定義\scriptstyle 2n \times n矩陣，其纵排（column）形成對應子空間的基底，表示為區塊矩陣的形式，如下所示
: \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix}
則
: P = U_2 U_1^{-1}
是Riccati方程的解。而且\scriptstyle A - B R^{-1} B^T P的特徵值即為\scriptstyle Z特徵值中有負實部的特徵值。

針對DARE，若A是可逆矩陣，可以定義辛矩陣
: Z = \begin{pmatrix} A + B R^{-1} B^T (A^{-1})^T Q & -B R^{-1} B^T (A^{-1})^T \\ -(A^{-1})^T Q & (A^{-1})^T \end{pmatrix}
因為\scriptstyle Z 是辛矩陣，若在單位圓圓周上沒有特徵值，則會有恰好一半的特徵值會在單位圓內。若定義\scriptstyle 2n \times n矩陣，其纵排（column）形成對應子空間的基底，表示為區塊矩陣的形式，如下所示
則
: P = U_2 U_1^{-1}
是Riccati方程的解。而且\scriptstyle A - B (R + B^T P B)^{-1} B^T P A的特徵值即為\scriptstyle Z特徵值中，在單位圓內的特徵值。

相關條目
*李亞普諾夫方程

參考資料
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外部連結

#方程 #矩陣 #最佳控制

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