在線性代數中，反對稱矩陣（或稱斜對稱矩陣）指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足：
:AT = − A
或寫作A = (a_{ij})，各元素的關係為：
:a_{ij} = -a_{ji} \,\!
例如，下例為一個斜對稱矩陣：
:\begin{bmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{bmatrix}
在非偶数域中，斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。
例子
:\begin{bmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0 \end{bmatrix}
特性
- 斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。
- 任意矩陣A，A^T - A是斜對稱矩陣。
- 若A是斜對稱矩陣，x是向量，x^T A x = 0
- 斜對稱矩陣的主對角線元素必是零，所以其跡數為零。
行列式
若A是n \times n的斜對稱矩陣，其行列式滿足
: \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^n \operatorname{det}(A)。
- 若n是奇數，行列式等於零。這個結果叫雅可比定理。
- 若n是偶數，行列式可以寫成部分元素的多項式的平方：\operatorname{det}(A)=\operatorname{Pf}(A)^2。
這個多項式\operatorname{Pf}(A)叫A的普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。
譜理論
斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式（±λ）出現，因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下：iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …，其中 λk 是實數。
实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法用实矩阵来对角化。然而，通过正交变换，可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地，每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式，其中Q是正交矩阵，且：
:\Sigma = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\
& & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix}
\end{bmatrix}
对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中，Σ总是至少有一个行和一个列全是零。
无穷小旋转
斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上，斜对称矩阵可以视为无穷小旋转。
另外一种说法是，斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出：
:[A,B] = AB - BA \
很容易验证，两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。
于是，斜对称矩阵A的矩阵指数，是正交矩阵R：
:R=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}
李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中，这个连通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。
參見
- 斜埃尔米特矩陣
- 辛矩阵
参考文献
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