度数矩阵

在数学领域图论中，无向图的度数矩阵（）是一个对角矩阵 ，其中包含的信息为的每一个顶点的度数，也就是每个顶点相邻的边数。 它可以和邻接矩阵一起使用以构造图的拉普拉斯算子矩阵（拉普拉斯矩阵是度数矩阵和邻接矩阵的差值）。

定义
给定一个图 G=(V,E) 与 |V|=n， G的度数矩阵 D是一个 n \times n的对角线矩阵，其定义为

: d_{i,j}:=\left\{
\begin{matrix}
\deg(v_i) & \mbox{if}\ i = j \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{matrix}
\right.

其中度数 \deg(v_i)为这个顶点上的边的条数。 在无向图中，这意味着每个环会使得度数增加2。 在有向图中，术语“度”可以指“入度”（indegree，终点在这个顶点的边的条数）或“出度”（ outdegree，起点在这个顶点的边的条数）。

例子
下面的无向图有一个6x6的度数矩阵，其数值为。

注意，对于无向图而言，开始和结束于同一节点的边（即环，如上图中的节点1）会使相应的度增加2（即被计算两次）。

性质
一个k-正则图的度数矩阵是恒为k的对角线矩阵。

根据度的总和公式，度数矩阵的迹是对应图的边数的两倍。

参考文献