辛矩陣

在數學中，辛矩阵是指一個2n \times 2n的矩阵M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足
:M^T \Omega M = \Omega\,。
其中M^T表M的轉置矩陣，而\Omega是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為
:\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}
或
:\Omega = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{bmatrix}
兩者的差異僅在於基的置換，其中I_n是n \times n 單位矩陣。此外，\Omega 行列式值等於一，且其逆矩陣等於-\Omega。

性質
凡辛矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為
:M^{-1} = \Omega^{-1} M^T \Omega

其中，反對稱矩陣\Omega具有如下運算性質：
:\Omega^T= - \Omega = \Omega^{ - 1}\,\! ,
:\Omega^T \Omega = \Omega \Omega^T = I_{2n} \,\! ,
:\Omega\Omega= - I_{2n}\,\! ,
:det(\Omega)=1\,\! 。

此外，辛矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域F上的所有2n階辛矩阵構成一個群，記為\mathrm{Sp}(2n,F)。事實上它是\mathrm{GL}(2n,F)的閉代數子群，其維度為n(2n+1)。當F=\mathbb{R},\mathbb{C}時，\mathrm{Sp}(2n,F)帶有自然的（複）李群結構。

由定義可知辛矩阵的行列式等於\pm 1；事實上，可以利用普法夫值的公式：
:\mbox{Pf}(M^T \Omega M) = \det(M)\mbox{Pf}(\Omega)。
由於M^T \Omega M = \Omega、\mbox{Pf}(\Omega) \neq 0，遂導出det(M) = 1。

當n=1時，有\mathrm{Sp}(2)=\mathrm{SL}(2)。換言之：二階辛矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

辛變換
在線性代數的抽象框架裡，我們可以用偶數維向量空間V上的線性變換取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱雙線性形\omega: V \times V \to F以取代矩陣\Omega（賦有這類雙線性形的空間稱為辛向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

: 定義。一個辛向量空間(V,\omega)上的線性變換L: V \to V若滿足
: \omega(Lu, Lv) = \omega(u, v)。
:則稱L為辛變換。

考慮\eta := \wedge^{\frac{\dim V}{2}} \omega，由於L^ (\omega)=\omega，故L^(\eta) = \eta；另一方面，L^* (\eta) = (\det L) \cdot \eta，於是得到\det L = 1。由此導出辛變換之行列式值等於一。

固定V的一組基，藉此將L寫成矩陣M，並將\omega表成斜對稱矩陣\Omega，便回到先前的定義：
:M^T \Omega M = \Omega。

相關條目

• 辛標記
• 辛向量空間
• 辛群

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• 正交矩陣
• 幺正矩陣
• 哈密頓力學
• 正則變換

外部連結
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