转置矩阵

在線性代數中，矩陣A的轉置（）是另一个矩陣AT（也寫做Atr, tA, At或A′）由下列等價動作建立：

形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣
:A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji} for 1 \le i \le n, 1 \le j \le m。

注意：\mathbf{A}^{\mathrm T}（轉置矩陣）與\mathbf{A}^{-1}（逆矩陣）不同。

例子

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}

性质
对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质：

*:转置是自身逆运算。

:转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m*矩阵的向量空间的线性映射。

:注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵，当且仅当AT是可逆矩阵，在这种情况下有 (A−1)T = (AT)−1。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTA*T。

*:标量的转置是同样的标量。

*:矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。

*: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b}

特殊转置矩阵
其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，如果
:A^{\mathrm{T}} = A。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果
:G G^\mathrm{T} = G^\mathrm{T} G = I_n , \, I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果
:A^{\mathrm{T}} = -A。

复数矩阵A的共轭转置，写为AH，是A的转置后再取每个元素的共轭复数:
:A^H = (\overline{A})^{\mathrm{T}} = \overline{(A^{\mathrm{T}})}

线性映射的转置
如果f: V→W是在向量空间V和W之间非退化双线性形式的线性映射，我们定义f的转置为线性映射tf : W→V，确定自
:B_V(v,{}^tf(w))=B_W(f(v),w) \quad \forall\ v \in V, w \in W

这裡的，BV和BW分别是在V和W上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做埃尔米特伴随。

如果V和W没有双线性形式，则线性映射f: V→W的转置只能定义为在对偶空间W和V之间的线性映射
tf : W→V**。

参考资料
外部链接