曲线的微分几何
曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。 曲线的理论比及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则…
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曲线
线（curve，curved line）指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。 弧（arc），即曲线段（curve segment），是任何光滑连续曲线上的任意一段，包括不限制在平面上的空间弧。平面弧（plane arc）有：圆弧、椭圆弧、双曲弧等；立体弧（space arc）有：圆柱螺旋线弧、鞍面上的交线弧等。而圆弧則特指圆周上任意两点之间的一段曲线。當要表示…
星形线
星形线（）或稱為四尖瓣線（），是一個有四個尖點的內擺線，也屬於超橢圓的一種。所有星形线皆可以依以下的方程式比例縮放而得 }} 外部連結 [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Astroid.html "Astroid" at The MacTutor History of Mathematics archive] [http://www.mathcurve.com…
學習曲線
学习曲线是对某种活动或工具的学习速率（平均情况）的图形化表示。一般来说，刚开始时掌握信息的速率曲线最为陡峭，之后则逐渐变得平缓，这表明之后的学习过程中对新資訊的掌握速率会越来越慢。 学习曲线也表示刚开始学习某件东西的困难程度，以及在初步掌握之后还能学到多少更高阶的知识。举个例子，Windows下的记事本很容易就能学会如何使用，但是在学会基本的使用方法后就学不到更多的东西了。而另一个极端的例子就是UNIX下的命令行文本编辑器Vim，Vim…
最速降線問題
最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？ 在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會…
次摆线
次摆线（），又称为餘摆线、变幅摆线，是指当一个圆沿一条给定直线滚动时，固定在圆所在平面内一定点经过的轨迹。摆线是最常见的一种次摆线。 次摆线的参数方程为： :x = a\theta - b \sin(\theta) \, :y = a - b \cos(\theta) \, 其中基线所在的为x轴，\theta为动圆滚过的角度，a为动圆半径，b为定点与圆心之间的距离。 当定点处于圆周上时（b = a）所得到的即为摆线。当定点位于圆外（b …
一般旋轮线
为旋轮线的一种，可以通过一条抛物线在另一条抛物线上滚动而构造]] 一般旋轮线（），又称为转迹线、轮转曲线等，是一类曲线的统称，指一条动曲线沿一条定曲线无滑动地滚动时，动曲线上的一定点所形成的轨迹，包括摆线、外摆线、内摆线、次摆线、渐伸线等。 常见的旋轮线有： 参考文献
椭圆
在数学中，椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数且大于两定点间距离的点的轨迹。 根據該定義，可以用手繪橢圓：先準備一條線，將這條線的兩端各綁在固定的點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點，且距離小於線長）；取一支筆，用筆尖将線繃緊，這時候兩個點和筆就形成一個三角形（的兩邊）；然後左右移動筆尖拉住線開始作圖，持續地使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓圖形。 由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以…
若尔当曲线定理
在拓扑学中，若尔当曲线（）是平面上的非自交环路（又称为简单闭曲线，）。若尔当曲线定理（）说明每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域，且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。它由奥斯瓦尔德·维布伦在1905年证明。 定理和证明 准确的数学表述如下： 设c为平面R2上的一条若尔当曲线。那么c的像的补集由两个不同的连通分支组成。其中一个分支是有界的（内部），另外一个是无界的（外部）。c的像就是任何一个…
孤立点
孤立点（），在数学上是指坐标满足曲线方程，但并不落在曲线上的点，是一種奇点。以下函數為例， :f(x,y)=y^2+x^2-x^3=0 此函數在原點有一孤立點，此函數可改寫成 :y^2 = x^2 (x-1) 注意x^2(x-1)只在x\ge 1或x = 0時非負，從而y有實數解，所以在x 時，此函數只在原點(0, 0)有解。但若考慮複數，原點就不再是孤立點，因為複數平方可以是負數。事實上，雙複變數多項式之解不可能含有孤立點。 相關條目…
内旋轮线
内旋轮线（）是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆内侧滚转的半径为 r 的圆上的一个点得到的转迹线，这个点到内部滚动的圆的中心的距离是 d。 内旋轮线的参数方程是: :x = (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right) :y = (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right) 特殊情况包括 …
等角螺线
等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r,\theta)中，这个曲线可以写为 :r = ae^{b\theta}\, 或 :\theta = \frac{1}{b}\ \ln\left(\frac{r}{a}\right)\ , 因此叫做“对数”螺线。 定理 等角螺线的臂的距离以几何级数递增。 设L为穿过原点的任意直线，则L与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为\cot^{-1}b。 设C为以原点为圆心…
摆线
在数学中，摆线（Cycloid）的定义为圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种，亦称圆滚线。 摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。 历史 摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年指出摆线一拱的區域面积是滾動圆的面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是滾動圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发…
伪全纯曲线
拓扑学与几何学中，伪全纯曲线（或*J-全纯曲线*）是黎曼曲面到殆复流形的光滑映射，并满足柯西-黎曼方程。伪全纯曲线在1985年由米哈伊尔·格罗莫夫提出，自此彻底改变了辛流形研究。特别是，它们导致了格罗莫夫–威滕不变量与弗洛尔同调，并在弦理论中发挥了重要作用。 定义 令X为殆复流形，具有殆复结构J。令C是光滑黎曼曲面（也叫复曲线），具有复结构j。X中的伪全纯曲线是映射f : C \to X，满足柯西-黎曼方程 :\bar \partial…
遗忘曲线
遗忘曲线（Forgetting curve）是用于表述记忆中的中长期记忆的遗忘率的一种曲线。这一曲线最早由心理学家赫尔曼·艾宾浩斯通过自己1880年到1885年的实验提出。在这一实验中，艾宾浩斯使用了一些毫无意义的字母组合。通过记忆这些字母组合，并在一系列时间间隔后检查遗忘率，得到了这一曲线。因此，这一曲线又叫艾宾浩斯遗忘曲线。 理论基础 艾宾浩斯遗忘曲线——记忆过程记忆的保持在时间上是不同的，有短期记忆和长期记忆两种。平时的记忆的过程…
总曲率
在数学中的曲线微分几何的研究中，一个浸入在平面上的曲线的总曲率是曲率的曲线积分： :\int_a^b k(s)\,ds. 闭曲线的总曲率是 2π 的整数倍，该整数称为曲线的指数或转数。其中转数是单位切向量关于起点的绕数，或者等价的高斯映射的次数。 局部不变量曲率和整体拓扑不变量指数的关系是高维黎曼几何的代表性结果，如高斯－博內定理。 不变量 根据惠特尼－格劳斯坦定理，总曲率在曲线的正则同伦下不变：总曲率是高斯映射的次数。然而，它不是同伦…
环绕数
的两条曲线的环绕数是 4。]] 在数学中，环绕数（）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。 环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。 定义 空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这…
弗莱纳公式
。]] 在向量微积分中，弗勒内-塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗勒内公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。 单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下： T 是单位切向量，方向指向…
阿基米德螺线
阿基米德螺旋線（Archimedean spiral），亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程为：\, r=a+b\theta。这种螺线的每条臂的间距永远相等于2\pi b。 应用 準確地利用阿基米德螺線，可以三等分任意角。但是因為阿基米德螺線無法利用尺規作出，故幾何三大難題中的三等份任意角仍然穩坐其寶座。 阿基米德螺線的畫法 一、以適當長度…
羊角螺线
羊角螺线（clothoid），又稱欧拉螺线（），是形式为 :x=C(t) :y=S(t) 的曲线，其中C(t)、S(t)为 Fresnel積分： :S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}, :C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x…