线（curve，curved line）指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。
弧（arc），即曲线段（curve segment），是任何光滑连续曲线上的任意一段，包括不限制在平面上的空间弧。平面弧（plane arc）有：圆弧、椭圆弧、双曲弧等；立体弧（space arc）有：圆柱螺旋线弧、鞍面上的交线弧等。而圆弧則特指圆周上任意两点之间的一段曲线。當要表示平面上或空间内一條曲線上 A 與 B 兩點之間所形成的弧（不限定为圆弧）時，會寫成 \mathrm{arc}\; AB，此表示法具有高度的普适性，可以泛指任何平面弧或空间弧。
历史
- 若尔当曲线定理
- 变分法（最速降線問題、等時降線）
- 希爾伯特第十六問題
- 皮亚诺曲线和其他
- 卷绕数
定义
在数学上，一条曲线的定义为：
:设I = [a, b]为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线c就是一个连续函数c : I \rightarrow X的映射，其中X为一个拓扑空间。
我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为\mathbb{R}^2。
若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。
若I = [a, b]和f(a) = f(b)，f是闭曲线（closed curve）或環圈。
曲线方程
一般来说，当在\mathbb{R}^n下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（）。
例如，x^2 + y^2 = 1是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。
曲线长度
若\gamma(t):[a, b] \to X \subset R^n，则其长度是
L(\gamma) = \int_a^b \left|\gamma'(t)\right| \mathrm dt
平面曲线
例如，若一条平面曲线可表达成标准方程y= f(x)，那么它的长度就是：
\int_a^b {\sqrt {\left[ f'\left( x \right) \right] ^ 2 + 1} \;{\rm{d}}x}
其中a\,、b \,为x\,的上下限。
若平面曲线可表达成参数方程x(t), y(t)，那么它的长度就是：
\int_\alpha ^\beta {\sqrt {\left( {x'} \right)^2 + \left( {y'} \right)^2 } {\rm{d}}t}
其中\alpha\,、\beta\,为t\,的上下限。
参考
外部链接
- [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html MacTutor著名曲線列圖]
评论 (0)