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最速降線問題

Wikipedia · 2026-01-07 维基百科 👁 1 阅读

最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？

在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會猜想的直線），可以用變分法证明。

歷史
1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

证明
约翰·伯努利的证明
费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。

运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足
:v=\sqrt{2gy},
式中y表示物体在竖直方向上落下的距离，g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线落下，物体的速度与水平方向的位移无关。

通过假设光在光速v在满足:v=\sqrt{2gy}的傳輸介質中运动形成的轨迹来导出最速降线。

约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

:\frac{\sin{\theta}}{v}=\frac{1}{v}\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v_m},
式中vm为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。

通过上述方程，可以得到两条结论：

#在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。

#当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化过程，假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离D后达到了最大速度，则

:v_m=\sqrt{2gD}.

整理折射定律式中的各项并平方得到

:v_m^2(dx)^2=v^2(ds)^2=v^2((dx)^2+(dy)^2)

可以解得dx对dy有

:dx=\frac{v dy}{\sqrt{v_m^2-v^2}}.

代入v和vm的表达式得到

:dx=\sqrt{\frac{y}{D-y}}dy

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

雅各布·伯努利的证明
约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。

如果从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

:ds^2=dx^2+dy^2.
dy不变求微分，得到

:2ds\ d^2s=2dx\ d^2x

最后整理得到

:\frac{dx}{ds}d^2x=d^2s=v\ d^2t
最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径，改变量为

:d^2t_1=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}d^2x

:d^2t_2=\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}d^2x

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

:d^2t_2-d^2t_1=0=\bigg(\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}-\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}\bigg)d^2x

因此最短时间的情况为

:\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}

最速降線的數學形式與最短時間
在垂直平面上，自原點\left(\,0,\,0\right)至目的地\left(\,x_1,\,y_1\right)的最速降線具有以下數學形式：

:x=\frac{1}{2}k^2\left(\theta-\sin\theta\right),\ y=\frac{1}{2}k^2\left(1-\cos\theta\right).

這裡的y座標軸方向向下，且y_1\geq 0；\theta為此擺線參數表達式的參數，原點處\theta=0。

物體自原點沿最速降線滑至\theta=\theta_1處所需的時間可由以下積分式給出：

:t=\int_{\theta=0}^{\theta=\theta_1} \mathrm dt=\int_{\theta=0}^{\theta=\theta_1} \frac{\mathrm ds}{v}。

利用ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}以及v=\sqrt{2gy}，並以\theta作為參數，整理後得

:\frac{ds}{v}=\frac{k}{\sqrt{2g}}\mathrm d\theta

:t=\frac{k}{\sqrt{2g}}\theta_1。

自此擺線的參數式中易知y的最大值為k^2，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑2r，因此

:k=\sqrt{2r}

:t=\theta_1\sqrt{\frac{r}{g}}。

現假設終點與原點直線距離\ l\ ，且終點對原點的仰角為\phi。利用此擺線的參數式，可知

:l=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=r\sqrt{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}

:\tan\phi=\frac{y_1}{x_1}=\frac{1-\cos\theta}{\theta-\sin\theta}

利用l的關係式求出r，並代回下滑時間中，得

:t\,\left(\,l,\,\theta\right)=\sqrt{\frac{l}{g}}\frac{\theta}{\sqrt[4]{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}}

綜合上述，討論在\ l\ 已知的情況下，下滑時間t與俯角\phi的關係為

:\left(\,\phi,\,t\right)=\left(\,\arctan\frac{1-\cos\theta}{\theta-\sin\theta},\,\sqrt{\frac{l}{g}}\frac{\theta}{\sqrt[4]{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}}\right)。

外部連結

參考資料

#数学问题 #曲线

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