高斯-赛德尔迭代
高斯－赛德尔迭代（'）是数值线性代数中的一个迭代法，可用来求出线性方程组解的近似值。该方法以卡爾·弗里德里希·高斯和命名。 算法 对于一个含有n个未知量及n个等式的如下线性方程组 \begin{align} a_{11}\cdot x_1 + a_{12}\cdot x_2 + \ldots + a_{1n}\cdot x_n &= b_1,\\ a_{21}\cdot x_1 + a_{22}\cdot x_2 + \ldots + …
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线性方程组
。交點就是解。]] 线性方程组是数学方程组的一种，它符合以下的形式： : \begin{cases}a_{1,1}x_{1} + a_{1,2}x_{2} + \cdots + a_{1,n}x_{n}= b_{1} \\ a_{2,1}x_{1} + a_{2,2}x_{2} + \cdots + a_{2,n}x_{n}= b_{2} \\ \vdots \quad \quad \quad \vdots \\ a_{m,1}x_{1…
超平面
在數學中，超平面（Hyperplane）是n維歐氏空間中，餘維度為1的子空間。即超平面是n維空間中的n-1維的子空間。它是平面中的直線、空間中的平面之推廣。 設 F 為域（為初等起見，可考慮 F=\mathbb{R}）。n 維空間 F^n 中的超平面是由方程 : a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = b 定義的子集，其中 a_1, \ldots, a_n \in F 是不全為零的常數。 在線性代數的脈絡下，F-向量空…
格拉姆-施密特正交化
在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得-{出}-子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以和埃哈德·施密特命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decompositio…
萨吕法则
萨吕法则（Sarrus' rule）是計算3×3矩陣行列式的记忆术，得名自19世紀的法國數學家： :\det(M) =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{2…
向量值函数
向量值函数，有时也称为向量函数，是一个单变量或多变量的、值域是多维向量或者无穷维向量的集合的函数。向量值函数的输入可以是一个标量或者一个向量（定义域的维度可以是1或大于1）；定义域的维度不取决于值域的维度。 样例：螺旋 一类常见的向量值函数依赖于单个实参数t（通常表示时间），而其输出是向量 v(t)。
矩阵分析
矩阵分析（英语：matrix analysis） 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算（加法、矩阵乘法等）、矩阵函数、矩阵的特征值（特征值分解）等。 矩阵空间 数域 F 下的所有 m×n 矩阵构成向量空间 Mmn(F)。数域 F 包括有理数ℚ、实数ℝ、复数ℂ等。当 m \neq p 或 n \neq q 时，空间 Mmn(F) 和 Mpq(F) 不一致，例如 M32(F) ≠ M23(F)。 两个 m×n …
反幺正算符
在线性代数中，一个反幺正算符是复希尔伯特空间上的反双线性映射， :\Omega : H \rightarrow H 对任意\Psi , \Phi \in H，满足， :\langle \Omega \Psi | \Omega \Phi \rangle = \langle \Phi | \Psi \rangle 反幺正算符常在量子理论中被用于表示某些对称性，例如时间反转。 维格纳定理进一步证明了它们在量子物理学中的根本重要性。 复共轭算符…
贗純量
贗純量（）為類似純量的數量，但在空間反演、瑕旋轉時會多出負號，純量則不會。 贗向量與向量的內積會是贗純量。贗純量的一個典型例子為三重積。設空間中有三向量A、B、C，彼此線性獨立；A與B的叉積\mathbf{A}\times \mathbf{B}為一贗向量，此叉積再與C做內積可得三重積(\mathbf{A}\times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}，即A、B與C所構成的平行六面體體積。贗純量與向量的乘積會產生贗…
線性無關
在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線-{}-性無關或線-{}-性獨立（），反之稱為線性相關（）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。 定義 假設是在域上的向量空間。如果\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2…
瑞利商
在数学中，瑞利商（）定义为： R(M,x) = {x^{} M x \over x^{} x}. 式中，M为复埃尔米特矩阵，x为非零向量。对实矩阵和向量，对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵，对向量的共轭转置退化为转置。 R(M, c x) = R(M,x)对所有非零标量c成立。 埃尔米特矩阵（或实对称矩阵）只具有实特征值且可对角化，由此，对于给定矩阵，其瑞利商达到最小值λ（M的最小特征值）当x为v_\min（最小特征值对应的特征向量…
牛頓恆等式
数学中，牛頓恆等式（）描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係。 牛顿在不知道先前的成果下，於約1666年發現這些恆等式。這些恆等式目前已被应用在许多數學领域，如伽罗瓦理论、不變量理論、群论、组合學，也被进一步应用於数学之外，如广义相对论。 数学陳述 對稱多項式 令 x_1, \cdots ,x_n為變量，定義k\geq 1且 p_k(x_1, \cdots, x_n)為k階 冪和: : p_k(x_1,\ldot…
基 (線性代數)
在线性代数中，基（）是向量空间裡某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。 通过基底可以直接地描述向量空间 \mathrm{V} 上定义的线性映射 f ，詳請參見线性映射#矩陣一節。 定义 Hamel基 {{math_theorem | name = Hamel基的定義 | math_statement = \mathrm{V} 是定义在域 K（也就是标量的母空間，…
矩阵微积分
在数学中，矩阵微积分是多元微积分的一种特殊表达，尤其是在矩阵空间上进行讨论的时候。它把单个函数对多个变量或者多元函数对单个变量的偏导数写成向量和矩阵的形式，使其可以被当成一个整体被处理。這使得要在多元函數尋找最大或最小值，又或是要為微分方程系統尋解的過程大幅簡化。这里我们主要使用统计学和工程学中的惯用记法，而张量下标记法更常用于物理学中。 记法与术语说明 本条目中，我们使用单个字母变量来表示多个变量的集合体（向量和矩阵），这样可以充分利…
不变子空间
数学上，一个从某个线性空间 V 到自身的线性变换 : T : V \rightarrow V 的不变子空间是V的一个子空间W使得T(W)包含于W。T的一个不变子空间也称为是 T－不变的。 若W为T－不变，我们限制T到W上得到一个新的线性变换 :T|W : W \rightarrow W 不变子空间的存在使得对于T的研究变得更为简单。 当然 V 本身，和子空间{0}，是每个线性算子T : V \rightarrow V的平凡不变子空间。对…
向量空间
的）對象的集合]] 向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。 正式定義 給定域 \left(K,\,+,\,\times\right) 和某集合 V ，它們具有了以下兩種运算（函数）： 向量加法 \oplus:V \times V \to V （其中 \oplus(u,\,v) 慣例上簡記為 u \o…
秩 (线性代数)
在线性代数中，一个矩阵 A 的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵A 的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩（）。通常表示为 \mathrm{r}(A) ，\mathrm{rank}(A) 或\mathrm{rk}(A)。 可替代定义 用-{行列式}-定义 设 A 为 m \times n 矩阵。若 A 至少有一个 r 阶非零子式，而其所有 r+1 阶子式全为零…
弗雷德霍姆定理
弗雷德霍姆定理是數學家埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆在探討积分方程的裡的一些定理。這些定理彼此相關，會用積分方程、线性代数、巴拿赫空间上的表示。 也和弗雷德霍姆定理有關。 線性代數下 線性代數的弗雷德霍姆定理如下：若M是矩阵，則M之行空间的正交补即為M的核： :(\operatorname{row } M)^\bot = \ker M. 而M之列空间的正交补即為M伴隨矩陣的核： :(\operatorname{col } M)^\bot =…
仿射变换
性的碎形]] 仿射变换（Affine transformation），又称仿射映射，是指在几何中，對一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 一個對向量 \vec{x} 平移 \vec{b} ，與旋轉缩放 A的仿射映射為 : \vec{y} = A \vec{x} + \vec{b} 上式在齐次坐标上，等價於下面的式子 : \begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} =…
范数
]] 范数（），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（）可以为非零的向量赋予零长度。 举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间 \R^2 就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：(3, 7)）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。 拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的…