在线性代数中，基（）是向量空间裡某一群特殊的向量（称为基向量），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的线性组合（或線性組合的極限）。

通过基底可以直接地描述向量空间 \mathrm{V} 上定义的线性映射 f ，詳請參見线性映射#矩陣一節。

定义
Hamel基
{{math_theorem
| name = Hamel基的定義
| math_statement = \mathrm{V} 是定义在域 K（也就是标量的母空間，如实数系 \mathbb{R} 或复数系 \mathbb{C}）上的向量空间，如果 \mathrm{V} 的子集 \mathfrak{B} 满足：

0_V \notin \mathfrak{B} （也就是零向量不會在 \mathfrak{B} 裡）

若 v \in \mathrm{V} 且 v \neq 0_V，則存在唯一的一組相異向量 e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B} 和唯一的一組非零标量 \lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K 使得 \lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = v 。

则稱 \mathfrak{B} 是向量空间 \mathrm{V} 的一组Hamel基。\mathfrak{B} 裡的元素被稱為基向量 ，若基向量的總數是有限個，\mathfrak{B} 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。
}}

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條：

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 E_1,\, E_2,\,\ldots ,\, E_m \in \mathfrak{B} 基向量和第二組标量 c_1,\, c_2,\,\ldots ,\, c_m \in K 也滿足 c_1 \cdot E_1 + c_2 \cdot E_2 + \cdots + c_m \cdot E_m = v 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B} ，其他不重複的部分，第一組的記為 v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B} ；而第二組的記為 u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B} ；然後設 w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B} 於原來第一組對應的标量係數是 \alpha_1,\, \alpha_2,\,\ldots ,\, \alpha_l \in K ；原第二組則是對應 a_1,\, a_2,\,\ldots ,\, a_l \in K 。另外 v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B} 對應的标量係數則為 \beta_1,\, \beta_2,\,\ldots ,\, \beta_{n-l} \in K ；u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B} 對應的标量係數則為 b_1,\, b_2,\,\ldots ,\, b_{m-l} \in K ； 這樣把 v \in \mathrm{V} 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

: \sum^{l}_{i=1}(\alpha_i-a_i)\cdot w_i
+\sum^{n-l}_{j=1} \beta_j \cdot v_j
+\sum^{m-l}_{k=1} (-b_k) \cdot u_k
= 0_V

這樣依據線性無關，就有

: \alpha_1-a_1 = \alpha_2-a_2 = \cdots = \alpha_l-a_l = 0_K

:\beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_{n-l} = 0_K

:b_1 = b_2 = \cdots = b_{m-l} = 0_K

這就確保任意 v \in \mathrm{V} 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其标量係數也是唯一的。

Schauder基
除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

{{math_theorem
|name=Schauder基的定義
|math_statement=
\mathrm{V} 是定义在域 K 上的巴拿赫空间（范数記為\|v\|），若向量序列 {\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}} 滿足：

• 對所有自然数 i\in\N ，e_i \neq 0_V （也就是零向量不會在 {\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}} 裡）
• 對每個 v \in \mathrm{V} ，都存在唯一組标量{\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}，使得對所有的 \epsilon > 0 ，存在 m\in\Z^+ 使得 n\in\N 且 n>m 則 \left\|\sum^n_{i=0}\lambda_i\cdot e_i - v\right\| （仿造數列極限而定義）

那向量序列 {\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}} 則被稱為是向量空间 \mathrm{V} 的一组Schauder基。
}}

第二項條件通常會簡寫為

: 對每個 v \in \mathrm{V} ，都存在唯一組标量{\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}，使 v=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i

甚至寫為

: v=\sum^{\infty}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i

例子
在傅立叶级数的研究中，函数\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数f(x)满足

:\int_0^{2\pi} \left|f(x)\right|^2\,dx

函数族\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

:\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\biggl|a_0+\sum_{k=1}^n \bigl(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr)-f(x)\biggr|^2\,dx=0

对于适合的（实数或复数）系数ak, bk。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

維度
如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，並将元素的个数称作向量空间的维度。如果原本的基底為：

:\mathfrak{B} = \left\{e_1,\,e_2,\ldots,\,e_N\right\}

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 {\{e_i \in V\}}^{N}_{i=1} 來間接代表\mathfrak{B}。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认选择公理，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

性质
设\mathfrak{B}是向量空间\mathrm{V}的子集。则\mathfrak{B}是基，当且仅当满足了下列任一条件：

• \mathrm{V}是\mathfrak{B}的极小生成集，就是说只有\mathfrak{B}能生成\mathrm{V}，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
• \mathfrak{B}是\mathrm{V}中线性无关向量的极大集合，就是说\mathfrak{B}在\mathrm{V}中是线性无关(線性獨立)集合，而且\mathrm{V}中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
• \mathrm{V}中所有的向量都可以按唯一的方式表达为\mathfrak{B}中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子
考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R2，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a, b)是R2中的向量，则v = a (1,0) + b*(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R2的一个基。

更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此，它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn*的标准基。

设V是由函数e*t和e2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。

*设R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的维度的势因此等于\aleph_0.

标准基
在行向量空间\R^n中有单位行向量

E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)

那么在该空间中，任意向量X=(x_1,x_2,...,x_n),都可以唯一表示成X=x_1E_{(1)}+x_2E_{(2)}+...+x_nE_{(n)}.然后我们可以看出，\R^n可以由它的向量子空间构成

\R^n=.

同样的，单位列向量就可以表达为\R^n=[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}].

线性无关的单位行向量E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}生成\R^n. 那么{E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}是\R^n的基，称这个基为标准基.

基的扩张
如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果\mathfrak{L}是在向量空间\mathrm{V}中的一个线性无关集合而集合\mathfrak{G}是一个包含\mathfrak{L}而且能够生成\mathrm{V}的集合，则存在\mathrm{V}的一组基\mathfrak{B}，它包含了\mathfrak{L}而且是\mathfrak{G}的子集：\mathfrak{L} \subseteq \mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{G}。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标
基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：\mathfrak{B} =\{ e_1, e_2 , \cdots , e_n \} 写成有序向量组： ( e_1, e_2 , \cdots , e_n ) 。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设\mathrm{V}是在域\mathbb{F}上的n维向量空间。在\mathrm{V}上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间\mathbb{F}^n到\mathrm{V}的一个选定线性同构\phi。

证明：这个证明利用了\mathbb{F}^n的标准基是有序基的事实。

首先假设
:\phi : \; \; \mathbb{F}^n \rightarrow \mathrm{V}是线性同构。可以定义\mathrm{V}的一组有序基\{v_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}如下：
: v_i = \phi (e_i) , \; \; \forall i, \; 1\leqslant i \leqslant n .
其中的\{e_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}是\mathbb{F}^n的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射
: φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,
这里的x = x1e1 + x2e2 + ... + xne**n是Fn的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fn → V。

确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量v ∈ V, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn，则aj = aj(v)的分量是v的坐标，在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意义上。

从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射，因为φ-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基，叫做对偶基。
参考文献
参见
*线性代数
*线性组合

外部链接

• [http://video.google.com/videoplay?docid=-7254479149869222300 MIT Linear Algebra Lecture on Bases] at Google Video, from MIT OpenCourseWare