弗雷德霍姆定理

弗雷德霍姆定理是數學家埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆在探討积分方程的裡的一些定理。這些定理彼此相關，會用積分方程、线性代数、巴拿赫空间上的表示。

也和弗雷德霍姆定理有關。

線性代數下
線性代數的弗雷德霍姆定理如下：若M是矩阵，則M之行空间的正交补即為M的核：

:(\operatorname{row } M)^\bot = \ker M.

而M之列空间的正交补即為M伴隨矩陣的核：

:(\operatorname{col } M)^\bot = \ker M^*.

積分方程
積分方程的弗雷德霍姆定理如下：令K(x,y)是积分变换，考慮以下齊次多項式

:\int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = \lambda \phi(x)

以及其複數伴隨（complex adjoint）

:\int_a^b \psi(x) \overline{K(x,y)} \, dx = \overline {\lambda}\psi(y).

其中\overline{\lambda}是复数 \lambda的共轭复数，\overline{K(x,y)}也是類似概念。則，弗雷德霍姆定理是指，針對任何固定值的\lambda，這些方程可能有平凡解\psi(x)=\phi(x)=0，不然就會有個數相同的線性無關解\phi_1(x),\cdots,\phi_n(x), \psi_1(y),\cdots,\psi_n(y).

此定理的充份條件是K(x,y)要在矩形區間[a,b]\times[a,b]（其中a和/或b可以是正負無限大）內是平方可積函數。

此處，積分表示為在實數線上的一維積分。在中會將此結果擴展到多維空間（例如黎曼流形）中的積分算子。

解的存在性
有一個弗雷德霍姆定理和緊密相關，是有關以下非齊次的解是否存在

: \lambda \phi(x)-\int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy=f(x).

此方程的解存在，若且唯若函數f(x)和以下對應齊次伴隨方程的完整解集\{\psi_n(x)\}正交：

:\int_a^b \overline{\psi_n(x)} f(x) \,dx=0

其中\overline{\psi_n(x)}是\psi_n(x)的共軛複數，前者屬於以下方程的完整解集

:\lambda\overline{\psi(y)} -\int_a^b \overline{\psi(x)} K(x,y) \,dx=0.

此定理的充份條件是：K(x,y)在矩形區域[a,b]\times[a,b]內是平方可積函數

參考資料

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) pp. 365–390.

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