在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線-{}-性無關或線-{}-性獨立（），反之稱為線性相關（）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。
定義
假設是在域上的向量空間。如果\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n是的向量，若它們為線性相關，则在域K 中有非全零的元素a_1, a_2, \dots, a_n，使得
:a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}；
或更簡略地表示成，
:\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}。
（注意右邊的零是的零向量，不是的零元素。）
如果中不存在這樣的元素，那麼\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n是線性無關。
對線性無關可以給出更直接的定義。向量\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n線性無關，若且唯若它們滿足以下條件：如果a_1, a_2, \dots, a_n是的元素，適合：
:a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}，
那麼對所有i = 1, 2, \dots, n都有a_i = 0。
在中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。
線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。
相關性
*含有零向量的向量組，必定線性相關。
::若有向量組a_1, a_2, ... , a_s，其中a_1=0，則a_1 = 0 \cdot a_2 + ... + 0 \cdot a_s。
*含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。
::若有向量組a_1, a_2, ... , a_s，其中a_1=a_2，則a_1 = 1 \cdot a_2 + 0 \cdot a_3 + ... + 0 \cdot a_s。
*若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
*整體線性無關，局部必線性無關。
*向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
*若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
*若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
*若a_1, a_2, ... , a_s線性無關，而b, a_1, a_2, ... , a_s線性相關，則b必可由a_1, a_2, ... , a_s線性表示，且表示係數唯一。
*有向量組\textrm{I}\{a_1, a_2, ..., a_s\}和\textrm{II}\{b_1, b_2, ..., b_t\}，其中t>s，且\textrm{II}中每個向量都可由\textrm{I}線性表示，則向量組\textrm{II}必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
*若一向量組b_1, b_2, ..., b_t可由向量組a_1, a_2, ..., a_s線性表示，且b_1, b_2, ..., b_t線性無關，則t \le s。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。
例子1
设V = Rn，考虑V内的以下元素：
:\begin{matrix}
\mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\
\mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\
& \vdots \\
\mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}
则e1、e2、……、en是线性无关的。
证明
假设a1、a2、……、an是R中的元素，使得：
: a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 . \,\!
由于
: a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n) , \,\!
因此对于{1, ..., n}内的所有i，都有ai = 0。
例子2
设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。
证明
假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：
:aet + be2t = 0
我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et（它不能是零），得：
:bet = −a
也就是说，函数bet与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。
例子3
R4内的以下向量是线性相关的。
:
\begin{matrix}
\\
\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}
\\
\\
\end{matrix}
证明
我们需要求出标量\lambda_1、\lambda_2和\lambda_3，使得：
:
\begin{matrix}
\\
\lambda_1 \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}+
\lambda_2 \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}+
\lambda_3 \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.
\end{matrix}
可以形成以下的方程组：
:
\begin{align}
\lambda_1& \;+ 7\lambda_2& &- 2\lambda_3& = 0\\
4\lambda_1& \;+ 10\lambda_2& &+ \lambda_3& = 0\\
2\lambda_1& \;- 4\lambda_2& &+ 5\lambda_3& = 0\\
-3\lambda_1& \;- \lambda_2& &- 4\lambda_3& = 0\\
\end{align}
解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：
:
\begin{align}
\lambda_1 &= \lambda_1 \\
\lambda_2 &= (-\lambda_1)/3 \\
\lambda_3 &= (-2\lambda_1)/3. \\
\end{align}
由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。
参考文献
Siegfried Bosch: Lineare Algebra.* 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.
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