真假值
在逻辑中，真值（truth value）或真假值，又稱逻辑值（logical value），是指示一个陈述在什么程度上是真的。在計算機編程上多稱做布林值、布爾值、布林數。 在经典逻辑中，唯一可能的真值是真和假。但在其他逻辑中其他真值也是可能的：模糊逻辑和其他形式的多值逻辑使用比简单的真和假更多的真值。 在代数上说，集合真、假形成了简单的布尔代数。可以把其他布尔代数用作多值逻辑中的真值集合，但直觉主义逻辑把布尔代数推广为海廷代数。 在to…
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共 81 篇文章
合式公式
在形式系統與逻辑中，合式公式（well-formed formula，wff）又称合適公式、良式公式，可简称公式（formula），即“符合語法規則的公式”，是一逻辑体系中的“一个表达式”或“一个有限符号序列”；此表达式或序列，来自给定的字母表（字符），且属于形式语言的一种。合式公式与该逻辑体系的构成规则相符合，类似于自然语言中的一个语法句子。 若给定一形式文法，则WFF是这个文法生成的任何字符串。 例如，在命题演算中符号序列((\al…
哥德尔数
在形式数论中，哥德尔编号是对某些形式语言的每个符号和公式指派一个叫做哥德尔数(GN)的唯一的自然数的函数。这个概念是哥德尔为证明他的哥德尔不完备定理而引入的。 可计算函数集合的编号有时叫做哥德尔编号或有效编号。哥德尔编号可以被解释为一个编程语言，带有指派哥德尔数到每个可计算函数作为在这种编程语言中计算这个函数的值的程序。Roger 等价定理特征化了是哥德尔编号的可计算函数集合的编号。 哥德尔编码 哥德尔使用基于素数因数分解的哥德尔编码系…
泛函谓词
在形式逻辑和相关的数理逻辑系统中，泛函谓词（functional predicate）或函数性谓词，是一种描述元素间关系的特殊谓词，其使得对于给定论域内的每一个元素，都有且仅有一个对应元素，满足该谓词所定义的逻辑关系。从直观上看，它在逻辑结构中起到了函数的作用，在特定的理论或公理化系统中满足唯一性与存在性约束。因此，泛函谓词在逻辑效果上类似于数学中的函数，其代表符号——谓词符号（predicate symbol）等价于函数符号。 函数符…
皮尔士定律
逻辑中的皮尔士定律（Peirce's law）得名于哲学家和逻辑学家查尔斯·桑德斯·皮尔士。它被接受为他的第一个公理化命题逻辑中一个公理。这个公理是排中律的推论。 在命题演算中，皮尔士定律说的是 ((P→Q)→P)→P。 也就是说，如果你能证明 P 蕴含 Q 强制 P 是真的，则 P 必定是真的。 皮尔士定律在直觉逻辑或中间逻辑中是不成立的。在柯里-霍华德同构中，皮尔士定律是一种續體运算。 皮尔士定律的证明 在只使用否定和蕴涵运算符的命…
证明助手
在计算机科学和数理逻辑中，证明助手（，亦称交互式定理证明器）是一类基于形式化逻辑的计算机软件工具，旨在辅助用户开发形式化证明（以数学上严格的方式构造、验证和管理证明过程）。其核心功能是通过将命题转化为可计算的逻辑框架（如类型论或高阶逻辑），自动化检查每一步推理的正确性，从而确保证明的完整性与无矛盾性。此类工具通常结合了交互式编程环境，允许用户逐步构建证明并即时获得反馈，既可用于验证复杂数学定理的严谨性（如四色定理、开普勒猜想的…
矛盾
中，對立四邊形內不同直言命題之間存在的矛盾關聯。]] 在傳統邏輯學中，如果一個命題與自身或既定事實相衝突，則稱之為矛盾（，又稱恆假）。這種情況經常用來發現人們的不誠實信念或偏見。亞里士多德提出的無矛盾律，進一步說明了應用邏輯的普遍原則，即一件事物不可能在同一時間對於相同的對象同時為是與非。 在當代的形式邏輯和類型論領域，「矛盾」一詞專指某個特定的命題，通常使用（）來表示。根據邏輯規則，如果一個命題能導出「假 (邏輯值)」，則該命題被視為…
恆真式
恆真式（tautology）又称为套套邏輯、恆真句、恆真式或重言式等。 恆真式是指在任何情況下皆為真的命題，例如经典逻辑中的P\vee\neg P、P\to P、(P\wedge Q)\vee R\leftrightarrow (P\vee R)\wedge (Q\vee R)或“A=B，B=C，则A=C”。 命題邏輯的恆真式 命題邏輯上，如某式為一連串命題變項的組合，將每個命題變項分別代入真、假，運算結果總是為真，則該式為一恆真式。 …
量詞消去
量詞消去是數理邏輯、模型論與計算機科學中的一類技巧。我們稱一個理論T可消去量詞，若且唯若對每個公式\phi皆存在另一個不帶量詞的公式\psi，使得兩者在該理論中等價，即：T \models \phi \leftrightarrow \psi。 量詞消去在模型論有多種刻劃；即使一個理論可消去量詞，也不保證存在一個相應的演算法。 一個理論的量詞消去演算法係將一個帶量詞的公式轉成一個等價但不帶量詞的公式。利用這個演算法，我們能將任一句子（不帶…
算数阶层
算术阶层是递归论或可计算性理论中的概念，将自然数的子集按照定义它们的公式的复杂度分类。 定义 按公式定义 设 \phi(x) 为自然数的语言中的公式，定义 \phi 为 \Delta_0 公式当且仅当 \phi 中的所有量词都是有界量词（即形如 \exists n 或 \forall n 的量词，其中 t 为该语言中的项）。 定义 \phi(x) 为 \Sigma^0_1 公式当且仅当 \phi(x):=\exists n\,\thet…
演绎定理
演绎定理是数理逻辑的一個核心規則，它清晰地描述元語言的純符號組合所做的演繹與逻辑语言裡的实质条件的聯繫。 簡介 演绎定理通常被視為元定理，也就是以元語言來描述的符號組合規則（也就是推理规则，如肯定前件）為基礎，配上邏輯公理（被認為＂永遠為真＂的一套合式公式）為前提去證明的某種規則，通常都有以下的形式：（以下\mathcal{A}_1,\,\cdots,\,\mathcal{A}_n 、 \mathcal{B} 為任意合式公式） :「若根…
存在图
存在图是查尔斯·皮尔士发明的逻辑表达式的一种图示或可视表示法。皮尔士在1882年写了第一篇关于图形逻辑的论文，并持续开发这种方法直到1914年他故去。 图形 皮尔士提出了三个存在图系统: alpha, 同构于命题演算和两元素布尔代数； beta, 同构于所有公式都闭合的有等式的一阶逻辑； gamma, (几乎)同构于普通模态逻辑。 Alpha嵌套于beta和gamma 中。Beta不嵌套于gamma中，量化的模态逻辑超出了皮尔士的视野。…
自由变量和约束变量
在数学和其他涉及形式语言的学科中，包括数理逻辑和计算机科学，自由变量是在表达式中用于表示一个位置或一些位置的符号，某些明确的可以在其中发生，或某些运算（比如总和或量化）可以在其上发生。这个概念有关于占位符（它是以后会被所替换），或表示未指定符号的通配符，但更加深入和复杂。 变量x成为约束变量，比如 :对于所有 x，(x + 1)2 = x2 + 2x + 1。 或 :存在x，使得 x2 = 2。 在任何这种命题中，是否使用x或其他什么字…
指示函数
在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。 集X的子集A的指示函数是函数1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace，定义为 : A的指示函数也记作\chi_A(x)\,或I_A(x)\,。 简单性质 把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数f:X \to \{0,1\}的集合。 如果A和B是X的两个子集，那么 :1_{A\…
逻辑断言
断言（）在逻辑学中是断定一个特定前提为真的陈述，并且对在证明中的陈述有用。它等价于有空前件的相继式。 例如，如果p=“x是偶数”，则蕴涵 (\vdash p) \rightarrow x \bmod 2 = 0因此为真。还可以使用断定号写为 \vdash (\vdash p) \rightarrow x \bmod 2 = 0。
蕴含的幂等性
蕴含的幂等性( )是逻辑系统的一种特性，它表明人们可以从一个假设的多个实例中得出与仅从一个假设中得出相同的结果。这个属性可以被称为紧缩规则的一种结构规则捕获，在这样的系统中，当且仅当紧缩是一个可接受的规则时，人们可以说蕴含是幂等的。 紧缩规则：从 :A,C,C → B 推导出 :A,C → B. 或者在相继式演算符号系统中， :\frac{\Gamma,C,C\vdash B}{\Gamma,C\vdash B} 在线性逻辑和仿射逻辑（…
柯里悖论
柯里悖论（）是一种悖论，由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·柯里提出，并且以其命名。它也與的有关，故也被称为洛布悖论。 简介 对于这样一个条件语句C：「若C，則F」，只需要一些显然无害的逻辑推导规则，就可以推导出：仅从句子C的存在就证明了任意主张F。由于F是任意的，因此遵循这些逻辑规则的任何逻辑系统都可以证明所有命题，这就引起矛盾（见：柯里悖论#自然语言论证），违反了经典逻辑的无矛盾律；因此，这是一个悖论。 当今哲学家所使用的“柯里悖论”一词，…
数理逻辑
数理逻辑（）是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。主要的子研究领域有模型论，证明论，集合论和可计算性理论。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学。数理逻辑一般着重于研究公理系统的推断能力和表达能力。它也包括分析正确的数学推断来构筑数学基础。 研究内容 数理逻辑的主要分支包括： #公理化集合论 …
完备性
在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性（），即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域、紧化或哥德尔不完备定理。 一个度量空间或一致空间被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛，请参看完备空间。 在泛函分析中，一…
直觉类型论
直觉类型论（），也可简称类型论，此外也有构造类型论（）或马汀-洛夫类型论（，缩写 MLTT）称呼，是基于数学构造主义的一种类型论，也可作为公理集合论以外的另一种数学基础。 直觉类型论由瑞典数学家和哲学家佩尔·马丁-洛夫于1972年提出。马丁提出了多个版本，先是非直谓性的而后是直谓性的，先是外延的而后是内涵的类型论变体。 直觉类型论基于柯里-霍华德同构而提出，后者指的是计算机程序的类型和逻辑系统之间的一一对应关系。而且在先前类型理论的基础…