外延性
在数学中，外延性通常指称某种形式的。可追溯到莱布尼兹的原理，两个数学对象是相等的，如果没有区分它们的检验。例如，给出两个数学函数 f 和 g，我们可以说它们是相等的，如果 : 对于在公共函数域 X 内的所有 x。这种外延相等是平常的定义，如果函数范围 Y 对于两个也是公共的。在另一方面，如果我们在类型论的意义上通过附着到它们上的数据来区分函数，这样我们可以选择一个更大的集合比如 Z 作为它们之一的范围，则这种相等不同于“外延”意义的相等…
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共 81 篇文章
布尔值函数
布尔值函数是 f : X \to \mathbb{B} 类型的函数，这里的 X 是一个任意集合，而 \mathbb{B} 是一般性的 2 元素集合，典型的是 \mathbb{B} = \left \{ 0, 1 \right \}，而它经常在逻辑学应用中被解释为 \mathbb{B} = \left \{ false, true \right \}。 在形式科学、数学、数理逻辑、统计学和它们的应用领域中，布尔值函数也被称为特征函数、指示…
普遍化
普遍化（generalization）是數理邏輯裡一條極為常用的規則，直觀來說，這條規則在滿足一條件下，可以將原合式公式推廣成被全称量化的版本。 視為元定理 在谓词演算裡，以下的元定理{{math_theorem | name = 元定理 | math_statement = 在 \mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,....,\mathcal{A}_n 裡變數 x 都完全被約束，若 : \mathcal{A}_1,\…
蕴含的单调性
蕴含的单调性（Monotonicity of entailment）是许多逻辑系统的一个属性，它表明任何派生事实的假设都可以用额外的假设自由扩展。在后续演算中，可以通过称为弱化的结构规则来捕获此属性，并且在此类系统中，当且仅当规则是可接受的时，人们可以说蕴含是单调的。具有这种性质的逻辑系统有时被称为单调逻辑，以区别于非单调逻辑。 弱化规则 为了说明这一点，请考虑自然演绎 顺序： Γ \vdash C 也就是说，在一系列假设 Γ 的基础上…
林登鮑姆引理
在數理邏輯中，林登鮑姆引理，得名於，聲稱一階邏輯的任意一致理論都能被拓展成的一致理論。 此引理是邏輯代數中超濾子引理的特殊狀況，適用於一個理論的林登鮑姆代數。 歷史 林登鮑姆並沒有發表這個引理；最初是由阿爾弗雷德·塔斯基將這個引理歸功於他的。 用途 此引理被用於哥德爾不完備定理和其他地方。 推廣 根據哥德爾不完備定理，此引理的有效性版本：「任何一致的遞迴可枚舉理論都能被拓展成完備且一致的遞迴可枚舉理論」並不成立（因為皮亞諾算術是一致的)…
獨立性 (數理邏輯)
在數理邏輯上，獨立性指的是一個句子相對於其他句子的不可證明性。 若一個句子\sigma獨立於一個一階T，那就表示說\sigma在T中是不能證明也不能否證的，也就是說不能由T證明\sigma，也不能由T證明\sigma為偽。對於這樣的\sigma，有時會說\sigma在T中是不可判定的，而這裡的「不可判定」跟決定性問題中的「不可判定」是不同的。 若理論T中的每項公設都不能由T中的其他公設證明，則說T是獨立的，一個有著獨立公設集合的理論又稱…
T-模式
T-模式（也叫做约定T）是位于 Alfred Tarski 的真理的语义理论的任何实现的核心位置的归纳定义，表达了真理在逻辑运算符上的交换性。 T-模式经常用自然语言表达，但它们很容易接纳多类谓词逻辑或模态逻辑的形式化；比如叫做 T-理论的公式化。T-理论构成了哲学逻辑中很多基础工作的基础，它们被应用于分析哲学中很多重要争论。它们也是在模型论背后的基础直觉；或者说模型论实现了它们。 参见 真理的语义理论 公式 (数理逻辑) 註釋 外部链…
哥德尔完备性定理
哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。 如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑…
逻辑等价
在逻辑中，陈述p和q是逻辑等价的，如果它们有相同的逻辑内容。 p和q是语法等价的，如果每个都可以证明自另一个。p和q是语义等价的，如果它们在所有模型中有相同的真值。 逻辑等价经常混淆于实质等价。前者是在元语言中的一个陈述，断言关于目标语言中的陈述p和q的某个事情。而p和q的实质等价（常写为"p ↔ q"）自身是在目标语言中另一个陈述。但它们是有联系的，p和q是语法等价的，当且仅当p ↔ q是一个定理，而p和q是语义等价的，当且仅当p ↔…
命题变量
在数理逻辑中，命题变量（也称命题变元、句子变量）是要么为真要么为假的变量。命题变量是命题公式的基本构件板块，用于命题逻辑和更高的逻辑中。 逻辑中的公式通常是由一些命题变量、一些逻辑连接词和一些逻辑量词递归地建立的。命题变量是命题逻辑的原子公式，通常用大写字母表示，如\displaystyle P、\displaystyle Q、\displaystyle R。 在一个给定的命题逻辑中，我们可以按如下方式定义公式： 所有命题变量是公式。 …
對角線引理
對角線引理（），又稱為不動點定理（）。在數理邏輯中，對角線引理表明了自然數的形式理論中自指句子的存在——尤其是那些強到足以表示所有可計算函數的形式理論。 由對角線引理確立其存在的句子，將可用於證明一些邏輯的基礎限制，例如：哥德爾不完備定理或塔斯基不可定義定理。 背景 記自然數系為\mathbb{N}。T是一套帶有皮亞諾公理的一階邏輯理論。一个可計算函數f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}可以在T表達，若於…
非直谓性
一个数学定义是非直谓性的，如果它依赖于一个事物的集合，至少其中之一是它自身所定义的事物。换句话说，定义是自引用的。 罗素悖论是著名的非直谓性构造：“不包含自身作为成员的所有集合的集合”。悖论是这种集合是否包含自身——如果包含则根据它的定义它应当不是，而如果不是则根据它的定义它应当是。 但是，著名的数学家拉姆齐争论说，非直谓性定义是绝对需要的。例如，「屋子里最高的人」是非直谓性的，因为它依赖于某個包含其本身的集合，也就是在屋子中所有人的集…
子句 (逻辑)
在逻辑中，子句是文字的析取，在命题逻辑中，子句通常写做如下，这里的符号 l_i是文字: :l_1 \vee \cdots \vee l_n 在某些情况下，子句被写为文字的集合，所以上述子句将被写为 \{l_1, \ldots, l_n\}。从上下文中得到提示把这个集合解释为它的元素的析取。子句可以为空；在这种情况下，它是文字的空集。空字句被指示为各种符号比如 \empty、\bot 或 \Box。空字句的真值求值总是 false。 在一…
真值函数
在逻辑中，真值函数是从语言的句子生成的函数。它采用来自 {T,F} (就是真实和虚假)的真值。例如句子 A → B 生成真值函数 h(A,B)，它的真值是 F，当且仅当 A 的值是 T 而 B 的值是 F。n 个变量的命题句子生成 2^{2^n} 个真值函数。比如，如果有像 A → (B → A) 这样的 2 个变量的命题则有 16 个生成的真值函数。 陳述或命题被称为是真值泛函的，如果它的真值由它的部件的真值来决定。 比如，“在200…
存在概括
存在概括(英语:Existential generalization，简称EG)是谓词逻辑有效推理规则之一。该规则允许论者从一项具体陈述演绎至一项量化概括论述，或存在量化。一阶逻辑中，作为存在量词的规则常用于正式证明。 例：一只叫罗孚的狗喜欢摇尾巴，所以有些东西喜欢摇尾巴。 用费奇符号可记为: : Q(a) \to\ \exists{x}\, Q(x) 常量小写a在 Q(x)中代替了所有自由变量。a代表一个常量，在这个例子中是狗。Q代表…
直觉主义逻辑
直觉主义逻辑或构造性逻辑是最初由阿蘭德·海廷开发的为鲁伊兹·布劳威尔的数学直觉主义计划提供形式基础的符号逻辑。这个系统保持跨越生成导出命题的变换的证实性而不是真理性。从实用的观点，也有使用直觉逻辑的强烈动机，因为它有存在性质，这使它还适合其他形式的数学构造主义。 语法 直觉逻辑的公式的语法类似于命题逻辑或一阶逻辑。但是直覺邏輯的連結詞不像經典邏輯那樣是可互定義的，因此它們的選擇是重要的。在直覺命題邏輯中通常使用 →, ∧, ∨, ⊥ 作…
唯一量化
在谓词逻辑和依赖于它的技术领域中，唯一量化或唯一存在量化，尝试形式化对于“精确”的一个事物，或对于精确的特定类型的一个事物为真的某个事物的概念。唯一量化的一般化是。 例如: : 恰有一个自然数 x 使得 x - 2 = 4。 符号化写为: : ∃!x ∈ N, x - 2 = 4 符号 ∃! 叫做“唯一量词”或“唯一存在量词”。它通常被读作“有且仅有一个”、“恰有一个”、“存在唯一一个”（存在着这个符号的在文法上和如何阅读上的多个变体）…
BHK释义
在数理逻辑中，直覺主義邏輯的布勞威爾-海廷-柯爾莫哥洛夫释义（Brouwer–Heyting–Kolmogorov interpretation）或BHK释义是由魯伊茲·布勞威爾、阿蘭德·海廷和独立的由安德雷·柯爾莫哥洛夫提出的。它有时也叫做可实现性释义，因为有关于斯蒂芬·科尔·克莱尼的可实现性理论。 释义 释义精确的陈述一个给定的公式的证明是什么。这是通过这个公式的在结构上归纳规定的： P \wedge Q的证明是有序对，这裡的a是P…
实体图
实体图是查尔斯·皮尔士于1880年代开始在定性逻辑的名义下开发的逻辑的图形语法的一个要素，只覆盖了逻辑的命题演算方面所关心的内容的形式化。请参见《Peirce's Collected Papers》的 3.468, 4.434, 和 4.564。 语法是: 空白页； 单一的字母，短语； 包围在叫做切的简单闭合曲线内的对象(子图)。切可以为空。 语义是: 空白页指示假； 字母，短语，子图和整个图可以为真或假； 用切包围对象等价于布尔补运算…
文字 (数理逻辑)
在数理逻辑中，文字(literal)是一个原子公式(atom)或它的否定。文字可以分为两种类型: 肯定文字就是一个原子。 否定文字是一个原子的否定。 纯文字是其变量(在某个公式内)的所有出现都有相同符号的文字。 解释 文字来源于拉丁文的 litera 就是字母的意思。 在编程语言中，文字表示的字符串的意思，这个些字符串被允许或者用来定义基本类型的（Basistypen）（比如说，整数，浮点数，字符串等等）。它们没有被标记，但是却在某些情…