逻辑运算符
在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。又称逻辑操作符(Logical Operators)。 基本運算符 基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双条件…
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逻辑代数
在数学和数理逻辑中，逻辑代数（有时也称开关代数、布尔代数）是代数的一个分支，其变量的值仅为真和假两种真值（通常记作 1 和 0）。初等代數中变量的值是数字，而且主要的运算是加法、乘法和乘方（以及它們的逆运算），而逻辑代数的主要运算符有合取与，记为；析取或，记为；否定非，记为。因此，它是描述逻辑运算的一种形式主义，就像初等代数描述数字运算一样。 逻辑代数是乔治·布尔（George Boole）在他的第一部著作《逻辑的数学分析》（1847年…
布尔函数
在数学中，布尔函数（Boolean function），又称逻辑函数，描述如何基于对布尔输入的某种逻辑计算确定布尔值输出。它们在复杂性理论的问题和数字计算机的芯片设计中扮演基础角色。布尔函数的性质在密码学中扮演关键角色，特别是在对称密钥算法的设计中（参见S-box）。 有限布尔函数 在数学中，有限布尔函数是如下形式的函数f: \mathbb{B}^k \rightarrow \mathbb{B}，这里的\mathbb{B}=\{0,1\…
布尔素理想定理
數學上，布尔素理想定理（）声称每個布尔代数中的任何理想，都可以扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做超滤子引理。不同数学结构上，理想的定義有所不同，例如環有（环论）素理想，分配格有（序理论）极大理想。對於有定義「理想」的數學結構，有時有類似的素理想定理（）保证存在滿足特定條件的「素理想」。布尔素理想定理是序理论的素理想定理。 尽管各种素理想定理可能合乎直觉，它们一般不能从策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理推导出来，反而有些…
Σ-代数
在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（）又叫 σ-域（），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。 σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利…
逻辑非
\neg A]] \neg B]] 逻辑非是布尔代数中一种一元运算。它的运算结果是将运算元的真值-{zh-hans:取反; zh-hant:反相}-。 命题A的非可以有几种写法： A（A上加一横） ~A ¬A NOT A 以上可以读做"A不成立"或者"非A"。 ¬p的真值表定義如下： ~A即在A的条件下，结论不成立。例如，如果A代表命题“今天星期六”，则它的~A代表命题“今天不是星期六”或“今天是星期日、一、二、三、四或五”。 ~A为真…
集合域
在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对\,(\Omega,\mathcal{F})\,，其中 \Omega 是集合，\,\mathcal{F}\, 是由集合 \Omega 的一些子集构成的一种集类，它满足 \Omega 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。 也可把满足…
逻辑或非
]] 在布尔逻辑运算中，逻辑或非（NOR）的结果是逻辑或的反面。也就是说，p NOR q真，当且仅当p与q都假时才成立。 逻辑或非是对于命题之间的运算，两个参数均假时结果才真；反之，两个参数中至少有一个为真时，结构就为假。 真值表 逻辑或非的真值表如下： 韦恩图 逻辑或非的韦恩图如下： 一种表示p NOR q的方法是\overline{p \lor q}，其中符号\lor是逻辑或的符号。 性质 逻辑或非拥有一独特的性质，即其他所有逻辑运…
真值表
真值表是使用於邏輯中（特別是在連結邏輯代數、布林函數和命題邏輯上）的一類數學用表，用來計算邏輯表示式在每種論證（即每種邏輯變數取值的組合）上的值。尤其是，真值表可以用來判斷一個命題表示式是否對所有允許的輸入值皆為真，亦即是否為邏輯有效的。 「用真值表製表的推理模式是由弗雷格、查尔斯·皮尔士和恩斯特·施羅德於1880年代所发明的。這種表格於1920年代之後廣泛地發現在許多文獻上（扬·武卡谢维奇、埃米爾·波斯特、维特根斯坦）”（蒯因, 39…
布尔域
布尔域 B 是一般的 2-元素集合，比如 B = {0, 1}，它的元素被解释为逻辑值，典型的 0 = 假而 1 = 真。 布尔变量 x 是从布尔域取值的变量，比如 x ∈ B。 参见 * 布尔值函数
零阶逻辑
零阶逻辑是在与布尔函数、一元谓词演算、命题逻辑或句子逻辑有关主题的从业人员中流行的术语。使用这个术语的好处是它确立了更高的抽象层次，在其中上述这些主题之间的很无关紧要的区别可以在这个中肯的同构下被包容。 向着最初的方向，表1列出了具体类型X × Y → B和抽象类型 B × B → B的十六个函数在零阶逻辑的不同语言中的等价表达。 : 六种语言 对十六个布尔函数的六种语言按如下次序方便的描述： 语言L3描述每个布尔函数f : B2 → …
合取范式
在布尔逻辑中，如果一个公式是子句的合取，那么它是合取范式（CNF）的。作为规范形式，它在自动定理证明中有用。它类似于在电路理论中的规范和之积形式。 所有的文字的合取和所有的文字的析取是CNF的，因为可以被分别看作一个文字的子句的合取和析取。和析取范式（DNF）中一样，在CNF公式中可以包含的命题连结词是与、或和非。非算子只能用做文字的一部分，这意味着它只能在命题变量前出现。 例如，下列所有公式都是CNF: :A \wedge B :\n…
析取范式
在布尔逻辑中，析取范式（DNF）是逻辑公式的标准化（或规范化），它是合取子句的析取。作为规范形式，它在自动定理证明中有用。一个逻辑公式被认为是 DNF 的，当且仅当它是一个或多个文字的一个或多个合取的析取。同合取范式（CNF）一样，在 DNF 中的命题算子是与、或和非。非算子只能用做文字的一部分，这意味着它只能领先于命题变量。例如，下列公式都是 DNF: :A \lor B :A\! :(A \land B) \lor C :(A \l…
卡诺图
在逻辑代数中，卡诺图（Karnaugh map）是真值表的变形，它可以将有n个变量的逻辑函数的2^n个最小项组织在给定的长方形表格中，同时为相邻最小项（相邻与项）运用邻接律化简提供了直观的图形工具。但是，如果需要处理的逻辑函数的自变量较多（有五個或更多的時候，此時有些項就很難圈了），那么卡诺图的行列数将迅速增加，使图形更加复杂。 卡诺图是贝尔实验室的电信工程师莫里斯·卡諾（Maurice Karnaugh）在1953年发明的。 变量卡诺…
规范形式 (布尔代数)
布尔代数中，所有由标准逻辑运算符组成的布尔函数，都可以表示为布尔规范形式。规范形式分为“极小项”形式，及其对偶，“极大项”形式。 极小项 我们首先定义极小项(minterm)。对于一个有 n 个变量的布尔函数，极小项是由逻辑与运算符将这 n 个变量（或其逻辑否定）不重复地组合而成的逻辑表达式。 例如： : a b' c : a' b c 这两项中每个变量都出现，且仅只出现一次。三个变量间都仅使用逻辑与相连，因此这两项都符合极小项的定义。…
奎因-麦克拉斯基算法
奎因－麦克拉斯基算法（Quine-McCluskey算法）是最小化布尔函数的一种方法。它在功能上等同于卡诺图，但是它具有文字表格的形式，因此它更适合用于电子设计自动化算法的实现，并且它还给出了检查布尔函数是否达到了最小化形式的确定性方法。 方法涉及两步： #找到这个函数的所有素蕴涵项。 #使用这些素蕴涵项（prime implicant）来找到这个函数的本质素蕴涵项（essential prime implicant），对覆盖这个函数是…
布尔代数主题列表
集合代数 乔治·布尔 布尔代数 布尔域 布尔函数 布尔逻辑 蕴涵项 布尔素理想定理 布尔值函数 布尔值模型 布尔可满足性问题 布尔三段论 规范形式 (布尔代数) 特征函数 紧致性定理 完全布尔代数 德·摩根 德·摩根定律 对偶性 (序理论) 实体图 存在图 一阶逻辑 形式系统 自由布尔代数 Heyting代数 指示函数 内部代数 威廉姆·斯坦利·杰文斯 Johnston图 卡诺图 形式定律 Lindenbaum–Tarski代数 逻辑门…
Stone布尔代数表示定理
在数学中，斯通氏布尔代数表示定理声称所有布尔代数都同构于集合域。这个定理是深入理解在二十世纪上半叶所拓展的布尔代数的基础。这个定理首先由斯通氏（1936年）证明，并以他的姓氏命名。斯通氏通过他对希尔伯特空间上的算子的谱理论的研究而得出了它。 定理 斯通氏表示定理断言布尔代数同构于如下形式的它的那些超滤子的集合的所有子集的代数，{{Serif|{U : b ∈ U}|}} 对布尔代数的某个元素 。 可能令人惊奇，它的证明要求选择公理。这个…
自由布尔代数
在数学分支抽象代数中，自由布尔代数是布尔代数 ，使得集合 B (叫做“载体”)有其中元素叫做生成元的子集。生成元满足下列性质: 不是生成元的每个 B 的元素都可被表达为生成元的使用 F 的元素的有限组合，F 是运算的集合； 生成元尽可能的独立，因为对从生成元使用 F 中运算形成的有限项成立的任何等式，也要对于所有可能的布尔代数的所有元素成立。 例子 Image:Logical connectives Hasse diagram.svg|…
布林代數恆等式
在數學抽象代数布尔代数中，有許多布林代數恆等式。 符號 基本恆等式 恆等式 :a\Rightarrow b = \lnot a \lor b :a\Leftrightarrow b = \lnot a \lor b :a\oplus b = \lnot a\cdot b \lor a\cdot\lnot b :a\oplus 1 = \lnot a 布林函數恆等式 :x_{i}^{\sigma_{i}}=\begin{cases}x_{…