合取范式

在布尔逻辑中，如果一个公式是子句的合取，那么它是合取范式（CNF）的。作为规范形式，它在自动定理证明中有用。它类似于在电路理论中的规范和之积形式。

所有的文字的合取和所有的文字的析取是CNF的，因为可以被分别看作一个文字的子句的合取和析取。和析取范式（DNF）中一样，在CNF公式中可以包含的命题连结词是与、或和非。非算子只能用做文字的一部分，这意味着它只能在命题变量前出现。

例如，下列所有公式都是CNF:

:A \wedge B
:\neg A \wedge (B \vee C)
:(A \vee B) \wedge (\neg B \vee C \vee \neg D) \wedge (D \vee \neg E)
:(\neg B \vee C)

而下列不是:

:\neg (B \vee C)
:(A \wedge B) \vee C
:A \wedge (B \vee (D \wedge E))

上述三个公式分别等价于合取范式的下列三个公式:

:\neg B \wedge \neg C
:(A \vee C) \wedge (B \vee C)
:A \wedge (B \vee D) \wedge (B \vee E)

所有命题公式都可以转换成 CNF 的等价公式。这种变换基于了关于逻辑等价的规则: 双重否定律、德·摩根定律和分配律。

因为所有逻辑公式都可以转换成合取范式的等价公式，证明经常基于所有公式都是 CNF 的假定。但是在某些情况下，这种到 CNF 的转换可能导致公式的指数性爆涨。例如，把下述非-CNF 公式转换成 CNF 生成有 2^n 个子句的公式:

:(X_1 \wedge Y_1) \vee (X_2 \wedge Y_2) \vee \dots \vee (X_n \wedge Y_n)

参见

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