威爾遜質數
質數p為威爾遜質數，如果 : (p-1)! \equiv -1 \pmod{p^2}。 即 (p-1)!+1 可被p^2 整除，這和說明每個質數 p 都能整除 (p-1)!+1 的威尔逊定理有關。 現時所知的威爾遜質數只有5、13和563（A007540），若還有其他這類質數，必然大於5\times10^8。
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皮爾龐特質數
皮爾龐特質數是指具有以下形式的質數： :2^m3^n+1 其中m，n為正整數或0。 換句話說，質數p是皮爾龐特質數若且唯若p−1是3-光滑數。 頭幾個皮爾龐特質數為： :2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 174…
阶乘素数
阶乘素数是和某个阶乘相邻的素数，即它是某个阶乘的增一或減一。 最小的几个阶乘素数为： 2(0!+1或1!+1), 3(2!+1), 5(3!-1), 7(3!+1), 23(4!-1), 719(6!-1), 5039(7!-1), 39916801(11!+1), 479001599(12!-1), 87178291199(14!-1), ... 使n!+1是素数的n有： 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73,…
瓦格斯塔夫質數
形式如\frac{(2^n+1)}{3}的質數稱為瓦格斯塔夫質數，首幾項為： : 3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, ... 對應的 n 值： : 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127 ..., 986191, 40313…
威尔逊定理
威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1771年由拉格朗日首次证明。 在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为質數的充分必要条件。即：当且仅当p为質數时： :(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p) 证明 充分性 如果 p 不是質數，那么它的正因数必然包含在整数 2,3,4,\cdots,p-1 中，因此 \gcd(…
素数的倒数之和
公元前3世纪，欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪，欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里给出一些证明。 证明一 : \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \ln \left( \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} \ln \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} - …
自然質數階乘
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