归纳法或归纳推理（），有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程。它基于对特殊的代表（token）的有限观察，把性质或关系归结到类型；或基于对反复再现的现象的模式（pattern）的有限观察，公式表达规律。例如，使用归纳法在如下特殊的命题中：

• 冰是冷的。
• 弹子球在击打球杆的时候移动。

推断出普遍的命题如：

• 所有冰都是冷的。
• 所有弹子球都在击打球杆的时候移动。

廣義而言，歸納推理泛指多種推理方法，其中論證的結論並非以演繹的確定性獲得支持，而至多具有某種程度的概然性。與演繹推理（例如數學歸納法）不同（在演繹推理中，只要前提正確，結論便是「確定的」），歸納推理在給定前提下得出的結論至多是「概然的」。

例子
強歸納：

:所有观察到的乌鸦都是黑的。
:所以所有乌鸦都是黑的。

这例示了归纳的本质：从特殊归纳出普遍。结论明显不是确定的。除非我们见过所有的乌鸦 - 我们怎能都知道呢? - 可能还有些罕见的蓝(乌)鸦或是白(乌)鴉。

弱歸納：

:我总是把画像挂在钉子上。
:所以所有画像都是挂在钉子上的。

在这个例子中，前提建立在确定事物之上： “我总是把画像挂在钉子上”，但是不是所有的人都把画像挂在钉子上，而那些确实使用钉子的人也可能只是有时使用。有很多物体可以用来挂画像，包括但不限于：螺丝钉、螺栓和夹子。我做的结论是过度普遍化，并在某些情况下是错的。

:少年们得到了许多超速罚单。
:所以所有少年都超速。

在这个例子中，基础前提不是建立在确定事物之上：不是所有我发现超速的少年得到了罚单。这可能在于少年要超速的普遍本质 - 同乌鸦是黑的一样 - 但是前提所基于的更像痴心妄想而不是直接的观察。

有效性
多数人学习的形式逻辑是演绎的，而归纳推理則是屬於非形式邏輯。雖然如此，但一些哲学家仍堅持建立归纳逻辑的系统，但是对归纳的逻辑是否可能是有争议的。相对于演绎推理，归纳推理达成的结论並非必然與最初的假定有相同的确定程度。例如，所有天鹅都是白色的结论明显是错的，但在殖民于澳大利亚之前在欧洲一直被认为是正确的。归纳论证从来就不是有约束力的但它们可以是有说服力的。归纳推理在演绎上是无效的。（在形式逻辑中的论证是有效的，当且仅当论证的前提为真而结论却为假是不可能的。）

在归纳法中，总是有很多结论可以合理的关联于特定前提。归纳是開放的；而演绎是封闭的。

归纳问题的经典哲学处理，意味着为归纳推理找到了正当理由，是苏格兰人大卫·休谟完成的。休謨突出了依据重复经验的模式的我们的日常推理，而不是演绎上的有效论证。比如我们相信面包对我们有益，因为过去一直如此，但是面包将来对我们有害至少是可以想象的。

休謨说对所有事情都坚持可靠的演绎上的正当有理的人会饿死的。替代激进怀疑论关于所有事物的无所作为，他提倡基于常识的实用怀疑论，这里接受归纳法是必然的。

二十世纪的开发者很不同的为归纳问题加了外框。胜过选择对将来做什么预测，它可以被看作是选择适合于观察的概念（参见条目蓝绿色）或适合于观测数据点的曲线图。

归纳法有时被加边框为关于从过去做关于将来的推理，但是在最广泛的意义上它涵盖了在已观察的事物的基础上达成对未观察的事物的结论。从现在的证据推论过去（比如考古）也算做归纳法。归纳法也可以跨越空间而不是时间，比如从在我们的星系得出关于整个宇宙的结论，基于本地经济业绩得出关于国家经济政策的结论。

归纳推理的类型
歸納推理的類型包括普遍化、預測、統計三段論、類比論證和因果推斷。它們的結果如何被看待也各有差異。

歸納普遍化
普遍化（更準確地說是「歸納普遍化」）是從關於樣本的前提推出關於總體的結論的過程。從樣本獲得的觀察被投射到更廣的總體之上。和「樣本投射」。

軼事普遍化
軼事普遍化是一種歸納論證，其中關於總體的結論是使用非統計樣本推斷出來的。換言之，這種普遍化是基於軼事證據的。例如：

:今年到目前為止，他兒子的少棒隊十場比賽贏了六場。
:所以，到賽季結束時，他們大約會贏得60%的比賽。

這種推論不如統計普遍化可靠（因而更容易犯輕率概化的謬誤），首先因為樣本事件不是隨機的，其次因為它不能化約為數學表達式。從統計上說，根本無從得知、測量和計算將在未來出現的影響賽績的各種情況。在哲學層面上，這一論證依賴於「未來事件的運行將反映過去」這個預設。換言之，它把自然的齊一性視為理所當然——那是一條無法從經驗數據本身推導出來的未經證明的原理。默認預設這種齊一性的論證有時被稱為「休謨式的」，得名於最先對其加以哲學審視的哲學家。

預測
歸納預測從其他實例的樣本得出關於未來、當前或過去實例的結論。與歸納普遍化一樣，歸納預測依賴於由某現象的具體實例構成的數據集。但歸納預測不以普遍陳述作結，而是以一個具體陳述作結：關於單個實例將具有（或不具有）其他實例所共有（或不共有）的某性質的概率。

: 群體G中比例為Q的已觀察成員具有性質A。
: 所以，群體G的其他成員在下次被觀察時，有相當於Q的概率具有性質A。

統計三段論
統計三段論是從關於一個群體的普遍化推出關於一個個體的結論的過程。

:總體P的已知實例中比例為Q的部分具有性質A。
: 個體I是P的另一個成員。
: 所以，I具有A的概率相當於Q。

例如：
:Excelsior預備學校90%的畢業生繼續升讀大學。
:Bob是Excelsior預備學校的畢業生。
:所以，Bob很可能會升讀大學。

這就是「統計三段論」。儘管無法確定Bob會上大學，但（在沒有進一步信息的情況下）這一結果的確切概率是完全有保證的。兩種dicto simpliciter謬誤可能出現在統計三段論中：「意外」和「反意外」。

類比論證
類比推論的過程是：注意到兩個或多個事物的共有性質，並在此基礎上推論它們也共有某個進一步的性質：

:P和Q在性質a、b、c方面相似。
:已觀察到對象P還具有性質x。
:所以，Q很可能也具有性質x。

類比推理在常識、科學、哲學、法律和人文學科中非常常見，但有時它只被接受為一種輔助方法。案例推理是其精緻化的形式。

:礦物A和礦物B都是常含石英礦脈的火成岩，最常見於南美洲有古代火山活動的地區。
:礦物A還是一種適合雕刻成珠寶的軟石。
:所以，礦物B很可能也是一種適合雕刻成珠寶的軟石。

這就是「類比歸納」，據此，在某些方面相似的事物更傾向於在其他方面也相似。哲學家約翰·斯圖爾特·密爾在其《邏輯體系》中詳細探討了這種歸納形式，他說：「毫無疑問，每一種〔未知為不相干的〕相似之處，都在原有基礎之外為結論提供了某種程度的概率支持。」參見密爾五法。

一些思想家主張，類比歸納是歸納普遍化的一個子類別，因為它假定了一種支配事件的預先確立的齊一性。類比歸納還需要對被引為兩者共有的那些特徵的「相干性」進行輔助考察。在前面的例子中，如果加上一個前提，說這兩種石頭都曾見載於早期西班牙探險者的記錄，那麼這一共同屬性對於石頭本身是外在的，無助於它們之間的概然親緣性。

類比的一個陷阱是特徵可能被選擇性地挑選：即使對象顯示出驚人的相似之處，並置的兩個事物也可能各自具有類比中未指出的、截然「不」相似的其他特徵。因此，如果不進行所有相關的比較，類比可能產生誤導。

因果推斷
因果推斷基於效果發生的條件，得出關於可能的或概然的因果聯繫的結論。關於兩個事物相關性的前提可以指示它們之間的因果關係，但必須確認額外的因素，才能確立因果關係的確切形式。

其他類型
;简单归纳:简单归纳是从关于一个样本群体到关于另一个个体的结论的过程。

全体P的比例为Q的已知实例有性质A。

个体I是P的另一个成员。

结论：个体I有性质A的概率相当于Q。

这实际上是普遍化和统计三段论的组合，这里的普遍化的结论也是统计三段论的第一个前提。

;訴諸權威（典据论证）:引经据典论证基于来源说真命题的比例得出关于一个陈述的真实性的结论。它与推测有相同的形式。

权威A的比例为Q的主张是对的。

权威A的这个主张是对的概率相当于Q。

例子：
:来自关于逻辑的网站的所有的评述都是对的。
:这个信息来自关于逻辑的网站。
:所以，这个信息（可能）是对的。

方法
達成歸納普遍化的兩種主要方法是「枚舉歸納」和「消除歸納」。

枚舉歸納
枚舉歸納是一種歸納方法，其中普遍化是根據支持它的實例的「數目」構造的。支持的實例越多，結論就越強。如果觀察了100隻天鵝，而全部100隻都是白的，人們可能推出一個概然的全稱直言命題：「所有天鵝都是白的」。由於這種推理形式的前提即使為真也不蘊涵結論為真，這是歸納推論的一種形式。結論可能為真，也可能被認為概然為真，但它仍可能為假。關於枚舉歸納的證成和形式的問題一直是科學哲學的核心議題，因為枚舉歸納在科學方法的傳統模型中具有樞紐地位。

:迄今發現的所有生命形式都由細胞構成。
:所以，所有生命形式都由細胞構成。

這就是「枚舉歸納」，又稱「簡單歸納」或「簡單預測歸納」。它是歸納普遍化的一個子類別。在日常實踐中，這也許是最常見的歸納形式。就上述論證而言，結論頗具吸引力，但所作的預測遠遠超出了證據。首先，它假定迄今觀察到的生命形式能夠告訴我們未來的情形將會如何：這是一種對齊一性的訴求。其次，結論中的「所有」是一個大膽的斷言。只要有一個相反的實例，論證就宣告失敗。最後，以任何數學形式量化概然性的程度都是成問題的。我們用什麼標準來衡量我們地球上已知生命的樣本相對於所有（可能的）生命？假設我們確實發現了某種新的有機體——比如漂浮在中間層或某顆小行星上的某種微生物——而且它是由細胞構成的。這一佐證性證據的加入是否迫使我們提高對該命題的概率評估？一般認為回答「是」是合理的，而且對許多人來說這個「是」不僅合理而且無可爭辯。那麼這一新數據究竟應當使我們的概率評估改變「多少」？在這裏，共識便消融了，取而代之的是這樣一個問題：無論有沒有數值量化，我們究竟能否融貫地談論概率。

:迄今發現的所有生命形式都由細胞構成。
:所以，「下一個」被發現的生命形式將由細胞構成。

這是「弱形式」的枚舉歸納。它把「所有」截短為僅僅單個實例，通過提出弱得多的主張，大大增強了其結論的概然性。除此之外，它與強形式有同樣的缺陷：其樣本總體不是隨機的，而且量化方法難以捉摸。

消除歸納
消除歸納又稱變異歸納，是最早由弗蘭西斯·培根提出的一種歸納方法；在這種方法中，普遍化是根據支持它的實例的「多樣性」構造的。與枚舉歸納不同，消除歸納根據支持結論的實例的種類之不同進行推理，而不是根據支持它的實例數目。隨着實例多樣性的增加，就能識別出更多基於這些實例的可能結論彼此不相容而加以消除。這反過來又增強了任何仍與各種實例保持一致的結論的強度。在此語境下，信心是已被識別為不相容並被消除的實例數目的函數。這種信心表達為培根式概率 i|n（讀作「n個之中的i個」），其中已識別出n個認為某主張不相容的理由，而其中i個已被證據或論證消除。也可以採用不同的證據檢驗來消除所考慮的可能性。

消除歸納對科學方法至關重要，用於消除與觀察和實驗不一致的假說。

消除歸納也因其依賴於在排除之前必須識別出所有貌似合理的競爭假說而受到批評。薩爾蒙（Salmon）指出，這一要求在科學實踐中很少能夠達成，因為即使在現有替代方案被拋棄之後仍可能出現新的解釋，這限制了該方法所能提供的確定性。托雷蒂（Torretti）同樣論證說，消除策略面臨更廣泛的非充分決定問題：若干不同的假說可能與同一批證據保持相容，除非可能性的空間已被明確界定，否則消除就是不完全的。

歷史
古代哲學
對於從特殊到普遍的推進，公元前300年代的亞里士多德使用了希臘語詞「epagogé」，西塞羅將其翻譯為拉丁語詞「inductio」。

亞里士多德與逍遙學派
亞里士多德的《後分析篇》涵蓋了自然哲學和社會科學中歸納證明的方法。《後分析篇》第一卷描述了證明的本性與科學及其要素：包括定義、劃分、對第一原理的直觀理性、特殊證明與普遍證明、肯定證明與否定證明、科學與意見的區別等。

皮浪主義
古代皮浪主義者是最早指出歸納問題的西方哲學家：在他們看來，歸納無法證成把全稱陳述接受為真。Epilogism是一種完全在可見和明顯事物領域之內進行的推論，它力求不援引不可觀察者。

古希臘醫學的教條學派則採用「analogismos」作為推論方法。這種方法運用類比，從觀察到的事物推理到不可觀察的力量。

近代早期哲學
1620年，近代早期哲學家弗蘭西斯·培根駁斥了單純經驗和單純枚舉歸納的價值。他的方法即歸納主義，要求把揭示自然界結構和因果關係的細緻而多樣的觀察與枚舉歸納結合起來，才能獲得超出當前經驗範圍的知識。因此，歸納主義需要枚舉歸納作為一個組成部分。

大衛·休謨
經驗主義者大衛·休謨1740年的立場認為，枚舉歸納沒有理性的基礎，更遑論邏輯的基礎；相反，歸納是本能而非理性的產物，是心靈的一種習慣和日常生活的必需。雖然觀察（例如太陽的運動）可以與自然齊一性原理相結合，產生看似確定的結論，但歸納問題恰恰源於自然齊一性並不是一條邏輯上有效的原理：它既不能被辯護為演繹上理性的，也不能通過訴諸「自然齊一性準確地描述了過去，因此很可能準確地描述未來」而被辯護為歸納上理性的——因為這本身就是一個歸納論證，而歸納正是需要證成的東西，故而是循環論證。

自休謨首次論述「支持自然齊一性的演繹論證無效」與「歸納論證循環」之間的兩難以來，這種僅在兩種推論模式（演繹與歸納）之間的所謂二分法，已因第三種推論模式的發現而受到質疑，即溯因，或稱溯因推理。它由查爾斯·桑德斯·皮爾士於1886年首先系統表述和提出，他當時稱之為「以假說推理」（reasoning by hypothesis）。「最佳解釋推論」經常（但仍有爭議地）被視為溯因的同義詞；它由吉爾伯特·哈曼於1965年首先辨識出來，他稱之為「溯因推理」，但他對溯因的定義與皮爾士的定義略有不同。無論如何，如果溯因確實是理性上獨立於其他兩種模式的第三種推論模式，那麼或者自然齊一性可以通過溯因獲得理性證成，或者休謨的兩難其實更是一個三難。休謨還對枚舉歸納和理性被用於就不可觀察者達成確定性持懷疑態度，尤其懷疑從「改變關係的一個方面會阻止或產生特定結果」這一事實推論出因果性。

伊曼努爾·康德
被休謨著作的德譯本從「教條的沉睡」中喚醒之後，康德試圖解釋形而上學的可能性。1781年，康德的《純粹理性批判》引入理性主義，作為有別於經驗主義的通往知識的道路。康德把陳述分為兩類。分析陳述憑藉其詞項的排列和含義而為真，因此分析陳述是重言式，僅僅是邏輯真理，必然為真。而綜合陳述的含義則指涉事實的狀態，即偶然性。康德的《純粹理性批判》既反對笛卡爾和萊布尼茨等理性主義哲學家，也反對洛克和休謨等經驗主義哲學家，它持續論證：為了擁有知識，我們既需要心靈的貢獻（概念），也需要感官的貢獻（直觀）。因此對康德而言，嚴格意義上的知識僅限於我們可能知覺到的東西（現象），而純然思想的對象（「物自身」）原則上不可知，因為我們永遠不可能知覺到它們。

康德推論說，心靈必須包含它自己的範疇來組織感覺材料，使對「空間」和「時間」中的對象（現象）的經驗成為可能，因此他斷定自然齊一性是一條先驗真理。他拋棄了科學實在論。康德關於知識經由知覺與我們的思維能力合作而產生的立場（先驗唯心主義）催生了德國唯心主義運動。黑格爾的絕對唯心主義隨後在歐洲大陸和英格蘭盛行。

近代晚期哲學
實證主義由亨利·德·聖西門開創，並由其昔日學生奧古斯特·孔德在1830年代推廣，是第一種近代晚期科學哲學。法國大革命之後，孔德擔心社會崩壞，因而反對形而上學。孔德說，人類知識已從宗教演進到形而上學再到科學，而科學則從數學流向天文學、物理學、化學、生物學、社會學——依此順序——描述日益複雜的領域。社會的全部知識都已成為科學的知識，神學和形而上學的問題則是無法回答的。孔德認為枚舉歸納因其立足於現有經驗而可靠。他主張以科學而非形而上學真理作為改善人類社會的正確方法。

按照孔德的看法，科學方法提出預測並加以確證，進而陳述規律——即實證陳述——是神學或形而上學所無法駁斥的。英國哲學家約翰·斯圖爾特·密爾認為經驗能夠通過展示自然齊一性來證成枚舉歸納，後來的哲學家把皮爾士的溯因等稱為「最佳解釋推論」（IBE）。

當代哲學
伯特蘭·羅素
在突出了休謨的歸納問題之後，約翰·梅納德·凱恩斯提出「邏輯概率」作為其回答，或者說作為他所能達到的最接近解決的方案。伯特蘭·羅素認為凱恩斯的《概率論》（A Treatise on Probability）是對歸納最好的考察，並認為如果與讓·尼科的《歸納的邏輯問題》以及R·B·布雷斯韋特在1925年10月號《心靈》雜誌上對凱恩斯著作的書評一起閱讀，就能涵蓋「關於歸納的已知內容的大部分」，儘管這一「主題是技術性的和困難的，涉及相當多的數學」。二十年後，羅素追隨凱恩斯，把枚舉歸納視為一條「獨立的邏輯原理」。羅素認為：

{{Blockquote|text=「休謨的懷疑論完全建立在他對歸納原理的拒斥之上。應用於因果性的歸納原理是說：如果A曾非常頻繁地伴隨B或繼之以B出現，那麼在下一次觀察到A的場合，它很可能伴隨B或繼之以B。如果這條原理要成為充分的，足夠多的實例就必須使這種概率離確定性不遠。如果這條原理、或任何可以由之演繹出它的其他原理是真的，那麼休謨所拒斥的因果推論便是有效的——當然不是作為給出確定性，而是作為給出對實踐目的而言足夠的概率。如果這條原理不是真的，那麼從特殊觀察達到普遍科學規律的一切嘗試都是謬誤的，而休謨的懷疑論對經驗主義者來說便無可逃避。這條原理本身當然不能在不陷入循環的情況下從觀察到的齊一性中推論出來，因為證成任何這類推論都需要它。因此，它必須是一條不基於經驗的獨立原理，或者可以從這樣一條原理演繹出來。就此而言，休謨已經證明純粹經驗主義不是科學的充分基礎。但只要承認這一條原理，其他一切便都可以按照『我們的全部知識基於經驗』的理論進行。必須承認，這是對純粹經驗主義的一次嚴重背離，而且那些並非經驗主義者的人可能會問：既然允許了一次背離，為什麼禁止其他背離？然而，這些並不是休謨的論證直接引起的問題。這些論證所證明的——我認為這個證明是無法反駁的——是：歸納是一條獨立的邏輯原理，既不能從經驗中推論出來，也不能從其他邏輯原理中推論出來；而沒有這條原理，科學就是不可能的。」

與演繹推理的比較
歸納推理是一種論證形式，與演繹推理相反，它允許結論即使在所有前提為真的情況下仍可能為假。演繹推理與歸納推理之間的這一差異，反映在描述演繹論證和歸納論證的術語上。在演繹推理中，一個論證是「有效的」，若假定論證的前提為真，結論就「必定」為真。如果論證有效且前提「確實」為真，則該論證是「健全的」。相反，在歸納推理中，論證的前提永遠不能保證結論「必定」為真。取而代之的是：一個論證是「強的」，若假定論證的前提為真，結論「很可能」為真。如果論證強而前提又被認為為真，則稱該論證是「有說服力的」。較不正式地說，歸納論證的結論可以被稱為「概然的」、「貌似可信的」、「可能的」、「合理的」或「有理據的」，但永遠不能稱為「確定的」或「必然的」。邏輯不提供從概然通往確定的橋樑。

想通過某種概率的臨界積累來獲得確定性是徒勞的，這可以用擲硬幣的練習來說明。假設某人檢驗一枚硬幣是公平硬幣還是雙頭硬幣。他擲硬幣十次，十次都正面朝上。此時已有強的理由相信它是雙頭硬幣。畢竟，連續十次正面的概率是0.000976，不到千分之一。然後，擲了100次之後，每一擲都正面朝上。這時對硬幣是雙頭的已有「幾乎」確定性，人們可以把「硬幣很可能是雙頭的」視為「真」。然而，無論在邏輯上還是在經驗上，都不能排除下一擲會出現反面。無論連續多少次正面朝上，情況都是如此。如果編程讓一台機器不停地連續擲硬幣，某個時刻結果將出現一串100次的正面。在時間的長河中，一切組合都會出現。

至於從公平硬幣擲出十次全正面這一渺茫前景——正是這一結果使硬幣顯得有偏——許多人可能會驚訝地得知：任何一個正反面序列的概率都同樣小（例如正-正-反-反-正-反-正-正-正-反），然而它在「每一次」十連擲的試驗中都會出現。這意味着十連擲的「所有」結果都與擲出十次全正面有相同的概率，即0.000976。如果把正反面序列記錄下來，那麼無論結果為何，那個確切序列出現的概率都是0.000976。

一個論證是演繹的，當結論在給定前提下是必然的。也就是說，前提為真則結論必定為真。例如，在連續得到10次正面之後，人們可以演繹地得出：這枚硬幣已滿足某種統計標準而可被視為很可能是雙頭的——即使下一擲出現反面，這一結論也不會被證偽。

如果一個演繹結論恰當地從其前提推出，它就是有效的；否則就是無效的（說一個論證無效並不是說它的結論為假；它可能有一個真的結論，只是這並非憑藉前提而然）。考察下面的例子將表明，前提與結論之間的關係是這樣的：結論的真已經隱含在前提之中。單身漢未婚是因為我們「說」他們如此；我們就是這樣定義他們的。蘇格拉底會死是因為我們已把他歸入會死的存在者的集合。有效演繹論證的結論已經包含在前提之中，因為其真嚴格說來只是邏輯關係的事情。它所能說的不能多於其前提。相反，歸納前提從事實和證據中汲取實質內容，結論相應地提出事實主張或預測。其可靠性隨證據成比例地變化。歸納想要揭示關於世界的某種「新」東西。可以說，歸納想要說的「多於」前提中所包含的。

為了更好地看出歸納論證與演繹論證的差異，考慮這樣說是沒有意義的：「迄今考察過的所有矩形都有四個直角，所以我看到的下一個矩形將有四個直角。」這會把邏輯關係當作事實性的、可發現的東西，因而是可變的和不確定的。同樣，從演繹上說，我們可以容許地說：「所有獨角獸都會飛；我有一隻名叫查理的獨角獸；所以查理會飛。」這個演繹論證是有效的，因為邏輯關係成立；我們並不關心它們在事實上的健全性。

歸納推理的結論本質上是不確定的。它只處理在給定前提下結論按照某種證據理論而言「可信」的程度。例子包括多值邏輯、鄧普斯特-謝弗理論，或帶有貝葉斯規則等推論規則的概率論。與演繹推理不同，它不依賴在封閉論域上成立的全稱命題來得出結論，因此即使在認知不確定的情形下它也可以適用（不過這方面可能出現技術問題；例如，概率的第二公理是一個封閉世界假定）。

這兩類論證的另一個關鍵差異是：在非公理化的或經驗的系統（例如實在）中，演繹的確定性是不可能的，這使歸納推理成為通往關於這類系統的（概率性）知識的主要途徑。

給定「如果A為真，那將導致B、C、D為真」，演繹的一個例子是「A為真，因此我們可以演繹出B、C、D為真」。歸納的一個例子則是「觀察到B、C、D為真，因此A可能為真」。A是B、C、D為真的一個合理解釋。

例如：

:足夠大的小行星撞擊會造成非常大的隕石坑，並引起嚴重的撞擊冬天，足以使非鳥恐龍滅絕。
:我們觀察到墨西哥灣有一個非常大的隕石坑，其年代非常接近非鳥恐龍滅絕的時間。
:所以，這次撞擊有可能解釋非鳥恐龍為何滅絕。

但要注意，對這場大滅絕的小行星解釋不必然正確。其他有潛力影響全球氣候的事件也與非鳥恐龍的滅絕時間吻合，例如印度德干暗色岩形成期間火山氣體（尤其是二氧化硫）的釋放。

歸納論證的另一個例子：

:我們所知的所有生物生命形式都依賴液態水而存在。
:所以，如果我們發現一種新的生物生命形式，它很可能依賴液態水而存在。

每當發現一種新的生物生命形式時，都可以提出這一論證，而且每次的結論都會是正確的；然而，將來仍有可能發現一種不需要液態水的生物生命形式。因此，該論證也可以表述為：

:我們所知的所有生物生命形式都依賴液態水而存在。
:所以，所有生物生命很可能都依賴液態水而存在。

約翰·維克斯（John Vickers）給出了一個「不正確的」統計三段論的經典例子：

:我們見過的所有天鵝都是白的。
:所以，我們「知道」所有天鵝都是白的。

這一結論之所以失敗，是因為當時已知的天鵝總體實際上並不能代表所有天鵝。一個更合理的結論是：按照適用的慣例，我們或許可以合理地期望英格蘭的所有天鵝至少在短期內都是白的。

簡而言之：演繹關乎「確定性/必然性」；歸納關乎「概率」。數學歸納法的演繹性質源自其立足於非有限數目的情形，這與枚舉歸納這類涉及有限數目情形的歸納程序（如窮舉證明）形成對比。數學歸納法和窮舉證明都是完全歸納的例子。完全歸納是一種隱蔽形式的演繹推理。

歸納問題
儘管至少早自皮浪主義哲學家塞克斯圖斯·恩丕里柯以來，哲學家們就已指出歸納推理的不健全性，對歸納問題的經典哲學批判是由蘇格蘭哲學家大衛·休謨給出的。儘管歸納推理的使用展現出相當大的成功，其應用的證成卻一直是有疑問的。認識到這一點，休謨突出了這樣一個事實：我們的心靈常常從相對有限的經驗中得出看似正確、實則遠非確定的結論。在演繹中，結論的真值以前提的真為基礎。而在歸納中，結論對前提的依賴總是不確定的。例如，讓我們假設「所有烏鴉都是黑的」。存在許多黑烏鴉這一事實支持這個假設。然而，一旦發現存在白烏鴉，我們的假設就失效了。因此，「所有烏鴉都是黑的」這樣的一般規則不是那種能夠成為確定的陳述。休謨進一步論證，證成歸納推理是不可能的：這是因為它不能被演繹地證成，於是我們唯一的選擇是歸納地證成它。而由於這一論證是循環的，藉助休謨之叉，他斷定我們對歸納的使用在邏輯上是無法證成的。

儘管如此，休謨表示，即使歸納被證明不可靠，我們仍然不得不依賴它。因此，休謨提倡的不是嚴苛懷疑論的立場，而是基於常識的實用懷疑論，其中歸納的不可避免性得到接受。伯特蘭·羅素用一個故事闡明了休謨的懷疑論：一隻雞每天早晨都被餵食，從不間斷；牠遵循歸納法則，斷定這種餵食將一直持續下去，直到最後農夫割了牠的喉嚨。

1963年，卡爾·波普爾寫道：「歸納，『即』基於許多觀察的推論，是一個神話。它既不是心理事實，不是日常生活的事實，也不是科學程序的事實。」波普爾1972年的著作《客觀知識》——其第一章即專論歸納問題——開篇便說：「我認為我已經解決了一個重大的哲學問題：歸納問題」。

唐納德·吉利斯論證說，與歸納推理相關的推論規則在科學中壓倒性地缺席，他把大多數科學推論描述為「涉及由人的機智和創造力想出的猜想，絕不是以任何機械的方式、或按照精確規定的規則推論出來的」。吉利斯也提供了一個罕見的反例：「在AI的機器學習程序中」。

贝叶斯推理
作為歸納的邏輯而非信念的理論，貝葉斯推論並不決定哪些信念是先驗理性的，而是決定我們在面對證據時應當如何理性地改變所持有的信念。我們從考慮一份窮盡的可能性清單開始，對其中每一種可能性給出確定的概率刻畫（以似然表達），並給出精確的先驗概率（例如基於邏輯或從既往經驗歸納而來）；面對證據時，我們便使用貝葉斯邏輯以精確的方式調整對給定假說的信念強度，得出候選的「後驗概率」——而不考慮新證據在多大程度上可能恰好給我們以具體的理由去懷疑自己的假定。若不然，則宜視需要重新審視並重複對可能性及其刻畫的考慮，直到（或許）達到一種穩定的局面。

归纳逻辑的候选系统中，最有影响的是贝叶斯主义，它使用概率论作为归纳的框架。贝叶斯定理被用于在给定某些证据时计算你对一个假设的信任的强度应当改变多少。

关于从何得知最初的可信度是有争议的。客观贝叶斯主义者寻求对于假设为正确的概率的客观评估，而因此不能幸免于客观主义的哲学批判。主观贝叶斯主义者坚持表示主观可信度的先验概率，但是贝叶斯定理的反复应用导致了同后验概率的高度一致性。因此它们不能为在冲突的假设间做出选择提供客观标准。可以用这种理论理性的证明对某些假设的相信是正当的，但是要付出拒绝客观主义的代价。比如，不能使用这种方案在冲突的科学范例之间做客观决定。

Edwin Jaynes是率直的物理学家和贝叶斯主义者，他声称'主观'因素在所有推理中都存在（比如为演绎推理选择公理，选择最初的可信度或先验概率，选择可能度），并为来自定性知识的事物指派概率提出一系列的原理。最大熵（不关心原理的推广）和变换群组是他建立的两个结果工具；二者都尝试通过把知识比如条件的对称性转换成对概率分布的明确选择，减轻在特定条件下概率指派的主观性。

基本的貝葉斯推理可以作如下理解：

假設 α 為“法官判斷案件的正確性”，其值可以是0至1的有理數
α ∈ {0..1} = “Correctness of Judgment”, where
→ 0.5 代表判斷正確
→ = 1 代表判斷完全正確
→ = 0 代表判斷完全錯誤

假設 β¹ 為“法官的安全性”，其值可以是0至1的有理數
β¹ ∈ {0..1} = “Safty of Justice”, where
→ 0.5 代表安全
→ = 1 代表判斷完全安全
→ = 0 代表判斷完全危險

設 A 為 α > 0.75 的事件, B 為 β¹ = 0 的事件

那麼“法官在危險狀態下判斷大致正確”的機會率就是 P(A|B)
Probability of In-danger-fair-correct-judgment of justice
= P(A|B) = P(α > 0.75 | β¹ =0)

使用貝葉斯推理，機會率 P(A|B) 可以以如下方法求解：
P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}

如果在判決當時，地方局勢非常危險，P(B) = P(β¹ = 0) 會大過 0.8
P(B) = 0.8

而根據以往判決，經裁決後，10個案件中有6.5個案件敗方認為裁決不公平，而選擇上訴
邏輯：
案件判決正確 ⇒ 就不會上訴
所以：
選擇上訴 ⇒ 判決不正確
P(A) = 0.65

因為地方局勢不安全，法官如果判決正確，而身陷險境的機會率超過 30% (主觀)
P(B|A) = 0.3

所以 “法官在危險狀態下判斷大致正確”的機會率就是
Probability of In-danger-fair-correct-judgment of justice
= P(A|B) = \frac{0.3 \times 0.65}{0.8} = 0.24375

所以，根據貝納斯推論，如果地方局勢非常危險，法官的裁決只有 24.375% 大致正確。

再想深一層，

設 γ 為案件停留的日子
γ ∈ {1,2,3,...}

再設 C 為案件停留超過18個月的事件 ≈ C = γ > 545 的事件

已知 案件通常審判 6個月，較多情況在150日至210日中間，在過往十年1000個C類案件中只有20件
γ ~ Gaussian Distribution with mean=180, variance=30
γ ~ N(180,30)

所以，可以相信，P(C) = P(γ > 545) 0.5 代表安全
→ = 1 代表判斷完全安全
→ = 0 代表判斷完全危險

再設 D 為 β² > 0.8的事件

而以現在的局勢來看，失業率維持在3%

可以相信，P(D) > 97%
without loss of generality, we can assume:
P(D) = 0.97

那麼，在地方局勢安全的情況下，案件停留超過 545日的機會率是多少呢？

這也可以用貝納斯推論求解：
P(C|D) = \frac{P(D|C) \times P(C)}{P(D)}

根據常識統計，我們知道案件停留超過545日又地方局勢很危險的情況 20單案件裏面有 10件案件
邏輯：
案件通常審判 6個月，較多情況在 150日至210日中間
γ ~ N(180,30)
裁決正常 ⇒ 案件不會停留超過545日
所以，可以相信：
P(D|C) = 0.5

所以，
= P(C|D) = \frac{0.5 \times 0.005}{0.97} = 0.00258

根據貝納斯推論，在地方局勢安全的情況下，案件停留超過 545日的機會率只有 0.258%

⇒ 所以，如果案件真的停留超過 545日，而失業率維持在3% (代表地方局勢安全)，這代表 “裁決無理” Irrational Judgement 的機會率是 93.75%

⇒ 經推論，裁決很大機會是無理 Irrational

⇒ 或者，有可能，你會爭議裁決真的不是無理，有40%以上是合理。但根據貝納斯理論，要 P(C|D) = 0.4，除非“地方局勢安全性”在 0.0025/0.4 = 0.00625，失業率高過99%。這是沒有可能的，所以根據逆反式，裁決不可能有40%以上是合理。

而貝納斯的理論中，有一個連環規則(Chain Rule)的
P(T|s,c) = P(s|T) P(T|c)

假設，現在我們想知道 P(A|C,D) = 想知道 P(C|A) P(A|D)

P(A|D) = P(D|A) x P(A) / P(D) = P(D|A) 0.65 / 0.97
P(C|A) = P(A|C) x P(C) / P(A) = P(A|C) 0.005 / 0.65

P(A|C,D) = P(D|A) x P(A|C) x 0.005 / 0.97

設
因為根據現實，地方安全基本上和裁決無太大關係，而現在地方大致安全。所以，without loss of generality，可設：
P(D|A) = 0.9
而停留超過 545日而有裁決正確的案件的機會率只是一半一半。所以，without loss of generality，可設：
P(C|A) = 0.5

所以
P(A|C,D) = 0.9 x 0.5 x 0.005 / 0.97 = 0.00232

換句話說,

⇒ 在安全的情況下，案件停留超過 545日，而裁判正確的機會率是 0.232% (p-value)

⇒ 幾乎是沒有可能

歸納推斷
1960年前後，雷·索羅門諾夫創立了普遍歸納推斷理論，這是一種基於觀察的預測理論，例如根據給定的一系列符號預測下一個符號。它是一個形式化的歸納框架，把算法信息論與貝葉斯框架結合起來。普遍歸納推斷立足於堅實的哲學基礎，同時被評論為「似乎是一種不足以應對任何相當複雜的或現實世界環境的工具」，它可以被視為數學形式化的奧卡姆剃刀。該理論的基本要素是算法概率和柯爾莫哥洛夫複雜度的概念。

歸納推斷通常考慮可數規模的假說類。晚近的一項進展確立了歸納推斷的一個充分必要條件：有限的錯誤界得到保證，當且僅當假說類是可在線學習類的可數並集。值得注意的是，這一條件允許假說類具有不可數的規模，同時仍在該框架內保持可學習。

實際例子
一件由A和B同時發生才能確立的事件C，明顯地你會觀察到：事件C成立則B必定發生。但絕對不能貿然將結論誤解為“只要B發生則事件C一定發生”（而應該是要由A和B同時發生才能確定C的產生）。而且你也不能擅自擴充成為“只要C事件不發生則事件B一定沒有發生”，同樣的關鍵點仍舊是“當A不成立時，C就一定不成立”而B是否成立就不一定也無從得知了。

事實上你只能由現有實驗結果推論，尤其是生物體的實驗更不易有完美相同條件的控制組，及顧及全方面的對照組，你也無從判定究竟一共要有幾個因素加起來才會導致你在觀察的結果。更常見的情況是，你因為總是同時觀察到了C跟D現象，就因此加以歸納為A+B會導致C+D，或是A+B+D會導致C的結論。在你做更進一步的實驗來確認你的假設之前，你都無法排除這些不確定性，更誇張的就是C跟D說不定根本就沒有關係，或是更複雜的要有D+E才有A，又要同時有B，才有C這個結果。所以，在科學實驗中，演繹法才是比較不容易被質疑的一種判斷法，但是也不一定保證這樣做出的結論就是對的。

参见

• 演绎推理
• 逆推推理
• 溯因推理
• 統計誤用
• 解释
• 逻辑
• 可证伪性
• 归结原理
• 归纳推理智能
• 推论统计
• 数学归纳法
• 乌鸦悖论

参考文献
外部链接

• [https://web.archive.org/web/20070927003210/http://www.uncg.edu/phi/phi115/induc4.htm Four Varieties of Inductive Argument]
• [https://plato.stanford.edu/entries/logic-inductive/ Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Inductive Logic]