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布莱克-舒尔斯模型

Wikipedia · 2026-03-23 维基百科 👁 1 阅读

布莱克-舒尔斯模型（），简称BS模型，是一种数学模型，用來为衍生性金融商品中的選擇權定价，由美国经济学家麥倫·休斯與費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股利的歐式選擇權。罗伯特·C·墨顿其後修改了數學模型，使其於有派發股利時亦可使用，新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型（）。

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的選擇權，並同時與持有的資產對沖，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式问世后带来了選擇權市场的繁荣，並且也是在投資銀行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的「」。然而它假設價格的變動，會符合常態分配（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合统计学厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。

1997年，休斯和墨顿借该模型获得諾貝爾經濟學獎。布萊克不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

重要假设
BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如股票）及一種無風險資產（現金或債券）。

假設金融資產是：
*無風險資產的投資回報是不變的，此回報率稱作无风险利率
*股票價格遵從几何布朗运动（隨機漫步）
*股票在選擇權有效期内不分派紅利
*股票價格服从对数常態分配，即金融資產的对数收益率服从常態分配

假設金融市場是：
*不存在套利機會
*能以无风险利率借出或借入任意數量的金錢
*能買入及賣出（沽空）任意數量的股票
*市场无摩擦，即不存在交易税收和交易成本

此外，假設選擇權是欧式選擇權，即只可在特定日期行权。

數學模型
符號
:V(S,t)：歐式期權的理論价格
:C(S,t)：認購期權的价格
:P(S,t)：認沽期權的价格
:ln()：自然對數
:K：交割价格
:S：即期價格（Spot）
:τ：有效期
::T：到期日
::t：時間，以年為單位，例如0.5代表6個月
::\tau = T - t
:r：连续复利计无风险利率
:\sigma^2：年度化方差
:N()：常態分佈变量的累积分布函数
::N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2}\, dz

布萊克-休斯方程
對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權，其價格遵從以下偏微分方程：
:\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0

把方程重寫成左右兩邊：
:\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV -rS\frac{\partial V}{\partial S}

左方代表期權的時間值及與即期價格的。右方代表期權長倉的無風險回報及 \frac{\partial V}{\partial S}股相關資產短倉。

求解過程會轉換成為一個熱傳導方程式。

公式
利用以下约束条件，可解認購期權（Call Option）的理論值。
:\begin{align}
C(0, t) &= 0\text{ for all }t \\
C(S, t) &\rightarrow S\text{ as }S \rightarrow \infty \\
C(S, T) &= \max\{S - K, 0\}
\end{align}

認購期權的理論價格是：
:\displaystyle C(S,t)= N(d_1)S - N(d_2) K e^{-r \tau}

其中：
:d_1 = \begin{smallmatrix} \displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{S}{K} + \left(r+ \frac {\sigma^2}{2} \right) {\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}} \end{smallmatrix}
:d_2 = \begin{smallmatrix} \displaystyle d_1-\sigma \sqrt{\tau} \end{smallmatrix}

利用相同的方法，也可解認沽期權的理論價格：
:\displaystyle P(S,t)= N(-d_2) Ke^{-r \tau} - N(-d_1) S

認購期權及認沽期權的理論價格都包含 e^{-r\tau}，把交割價格K以連續複利折算為現值。
: \displaystyle PV(K,t)= Ke^{-r\tau}

派发股利的選擇權定价模型
布莱克-舒尔斯模型假定在期權有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下：
\displaystyle C = S \times e^{-k \times t} \times N(d_1)-e^{-r \times T} \times L \times N(d_2)

其中：

:d_1 = \begin{smallmatrix} \displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{S}{L} + \left(r-k+0.5 \times \sigma^2 \right) \times{T}}{\sigma \times \sqrt{T}} \end{smallmatrix}
:d_2 = \begin{smallmatrix} \displaystyle d_1-\sigma \times \sqrt{T} \end{smallmatrix}
:k：表示标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付）
:Ln：自然對數；
:C：期權初始合理价格；
:L：期權交割价格；
:S：交易所金融资产现价；
:T：期權有效期；
:r：连续复利计无风险利率Ｈ；
:\sigma^2：年度化方差；
:N()：常態分布变量的累积分布函数。

關聯項目
*金融工程學
*金融數學
*
*Cox–Ingersoll–Ross model
*長期資本管理公司

外部連結

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