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完全数

Wikipedia · 2025-12-12 维基百科 👁 0 阅读

演示完全數6]]
完全数（），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，，恰好等於本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，，也恰好等於本身。后面的数是496、8128。

十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

完全數的發現
古希腊数学家欧几里得是通过2^{n-1} \times(2^n-1)
的表达式发现前四个完全数的。

:当n=2:
:当n=3:
:当n=5:
:当n=7:

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：2^{n-1}(2^n-1)，其中2^n-1是素数，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2^n-1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12n+1或36n+9的形式，其中n是整数。

首十個完全數是（）：

6（1位）

28（2位）

496（3位）

8128（4位）

33550336（8位）

8589869056（10位）

137438691328（12位）

2305843008139952128（19位）

2658455991569831744654692615953842176（37位）

191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）

历史
古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 n=11 的时候，可是 2^{11}-1=23 \times 89 并不是素数。因此 n=11 不是完全数。另外两个错误假设是：

  • 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。
  • 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。

事实上，第五个完全数 33550336=2^{12}(2^{13}-1) 是 8 位数。

对于第二个假设，第五个完全数确实是以 6 结尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六个完全数 8589869056，仍是以 6 结尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 6 和 8 结尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。，共发现了52个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為2^{136279840} \times (2^{136279841}-1)共有82048640位數。

性质
以下是目前已發現的完全數共有的性質。

  • 偶完全数都是以6或28结尾。
  • 如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。
  • 而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾

奇完全数的部分条件

  • N > 102200
  • N是以下形式：

::N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k},
:其中：
: q，p1，…，p*k是不同的素数（Euler）。
: q* ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
: N*的最小素因子必须小于\frac{k-1}{2}.。
:* e_1≡e_2...≡e_k ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。
: 要么qα > 1062，要么对于某个j*有p_j^{2e_j} > 1062

  • N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。
  • N的最大素因子必须大于108，并低于 (3N)^{1/3}。。
  • N的第二大素因子必须大于104，并低于(2N)^{1/5}。 。
  • N的第三大素因子必须大于100。
  • N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。
  • 如果对于所有的i，都有e_i ≤ 2，那么：

* N*的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
** α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

圖查德定理
這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如12m+1或36q+9。最初的證明在1953年由首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

  • 歐拉證明了奇完全數的形式必如4j+1。
  • \sigma(n)表示n的正因數之和。完全數的定義即為2n = \sigma(n)。

\sigma(n)為積性函數

  • 引理（甲）：若n=6k-1（k是正整數），則n非完全數。
  • 引理（乙）：若n=4k-1（k是正整數），則n非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設n為完全數，且n \equiv -1 \pmod{6}。

n \equiv -1 \pmod{3}。因為3的二次剩餘只有0,1，故n非平方數，因此其正因數個數為偶數。

n有正因數d，則可得：
: d \equiv 1 \pmod{3}且n/d \equiv -1 \pmod{3}；或
: d \equiv -1 \pmod{3}且n/d \equiv 1 \pmod{3}。

因此，(n/d + d) \equiv 0 \pmod{3}。故\sigma(n) = \sum_{ d 。

但2n \equiv 2(-1) \equiv 1 \pmod{3}，矛盾。

故n的形式只可能為6k+1或6k+3。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設n為完全數，且n \equiv -1 \pmod{4}。

n \equiv -1 \pmod{4}。因為4的二次剩餘只有0,1，故n非平方數，因此其正因數個數為偶數。

n有正因數d，則可得：
: d \equiv 1 \pmod{4}且n/d \equiv -1 \pmod{4}；或
: d \equiv -1 \pmod{4}且n/d \equiv 1 \pmod{4}。

因此，(n/d + d) \equiv 0 \pmod{4}。故\sigma(n) = \sum_{ d 。

但2n \equiv 2(-1) \equiv 2 \pmod{4}，矛盾。

故n的形式只可能為4k+1。

若n=6k+1，根據歐拉的結果，n=4j+1，綜合兩者，得n=12m+1。

若n=6k+3，n=4j+1，得n=12m+9=3(4m+3)。若m非3的倍數，3和4m+3互質。

因為\sigma(n)為積性函數，可得\sigma(n)=\sigma(3) \sigma(4m+3) = 4 \sigma(4m+3) \equiv 0 \pmod{4}。

但2n=2(4j+1) \equiv 2 \pmod{4}，出現了矛盾。故知m是3的倍數。代入m=3q，可得n=36q+9。

參考

註釋
參考資料
參見
*高合成數
*婚約數
*親和數
*盈數
*虧數
*梅森素数
*半完全數
*佩服數
*超完全數
*梅森素数与完全数集合
*笛卡爾數

外部链接
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