質常數

質常數是有以下性質的实数\rho：針對質數的n，其二進制第n位小數為1，其他不是質數的n，其第n位小數為０。

\rho的二进制展開可以對應質數集合的指示函数，也就是說
: \rho = \sum_{p} \frac{1}{2^p} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi_{\mathbb{P}}(n)}{2^n}
其中p表示質數，\chi_{\mathbb{P}}是質數集合\mathbb{P}的指示函数。

ρ的十進制展開為： \rho = 0.414682509851111660248109622\ldots 。

反證法
假設\rho是有理数。

假設\rho二進制展開的第k位為r_k。因為假設\rho是有理數，其二進制展開最終會出現週期，因此存在正整数N和k，使得
r_n = r_{n+ik}，針對所有n > N，和所有i \in \mathbb{N}。

因為存在無窮多個質數，可以選擇一質數p > N。依照定義，可以得到r_p=1。如前面所述，可得r_p=r_{p+ik}，針對所有i \in \mathbb{N}。現在考慮i=p。因為k+1 \geq 2，p(k+1)為合數，可得r_{p+i \cdot k}=r_{p+p \cdot k}=r_{p(k+1)}=0。因為r_p \neq r_{p(k+1)}，和前面的假設矛盾，可得\rho是無理數。

參考資料