庞加莱度量

数学中，庞加莱度量（），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（）的关系，这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要
复平面上的度量可写成一般形式

:ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}
这里 λ 是 z 与 \overline{z} 的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为
:l(\gamma)=\int_\gamma \lambda(z,\overline{z})\, |dz| .

复平面上子集 M 之面积是

:\mbox{Area}(M)=\int_M \lambda^2 (z,\overline{z})\,\frac{i}{2}dz \wedge d\overline{z},

这里 \wedge 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 \lambda^4，故而行列式的平方根是 \lambda^2。复平面上的欧几里得体积形式为 dx\wedge dy，从而我们有
:dz \wedge d\overline{z}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)= -2i\,dx\wedge dy.

函数 \Phi(z,\overline{z}) 称为度量的势能（），如果
:4\frac{\partial}{\partial z}
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z}).

拉普拉斯–贝尔特拉米算子为

:\Delta = \frac{4}{\lambda^2}
\frac {\partial}{\partial z}
\frac {\partial}{\partial \overline{z}}
= \frac{1}{\lambda^2} \left(
\frac {\partial^2}{\partial x^2} +
\frac {\partial^2}{\partial y^2}
\right).

度量的高斯曲率由
:K=-\Delta \log \lambda ,
给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 \lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z} 而 T 是带有度量 \mu^2(w,\overline{w})\, dw\,d\overline{w} 的黎曼曲面，则映射

:f:S\to T\,

以及 f=w(z) 是等距当且仅当它是共形的以及

:\mu^2(w,\overline{w}) \;
\frac {\partial w}{\partial z}
\frac {\partial \overline {w}} {\partial \overline {z}} =
\lambda^2 (z, \overline {z}) .

在这里，映射为共形的也就是条件

:w(z,\overline{z})=w(z),
即

:\frac{\partial}{\partial \overline{z}} w(z) = 0.

庞加莱平面上的度量与体积元
庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为
:ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2},
这里我们记 dz=dx+i\,dy。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记

:z'=x'+iy'=\frac{az+b}{cz+d},

对 ad-bc=1，则我们可算得

:x'=\frac{ac(x^2+y^2)+x(ad+bc)+bd},

:\rho(z_1,z_2)=\log\frac.

度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 \hat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \infty 上任意四点 z_1,z_2,z_3 与z_4，交比定义为

:(z_1,z_2; z_3,z_4) =
\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)}.

那么度量用交比表示为

: \rho(z_1,z_2)= \ln (z_1,z_2^\times ; z_2, z_1^\times).

这里 z_1^\times 与 z_2^\times 是端点，位于实数轴上，测地线连接 z_1 与 z_2。这些点是有顺序的故 z_1 位于 z_1^\times 与 z_2 之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射
上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换

:w=e^{i\phi}\frac{z-z_0}{z-\overline {z_0}} ,

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z0 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 \Im z =0 映为单位圆盘的边界 |w|=1。实常数 \phi 将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

:w=\frac{iz+1}{z+i}

将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素
庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{(x^2+y^2)} \leq 1 \} 上为

:ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}.

体积形式为
:d\mu=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}.

对 z_1,z_2 \in U 的庞加莱度量为
:\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right| .

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型
（）；这是 nome 的一个函数。]]

第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射：

:q=exp(i\pi\tau)

这里 q 是 nome（），\tau 是半周期比例（）。在上一节的记号中，\tau 是上半平面 \Im \tau >0 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

:ds^2=\frac{4}{|q|^2 (\log |q|^2)^2} dq d\overline{q},

度量的势能是

:\Phi(q,\overline{q})=4 \log \log |q|^{-2}.

施瓦茨引理
庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（）。

另见
*富克斯群（）
*富克斯模型（）
*克莱因群
*克莱因模型
*庞加莱圆盘模型
*庞加莱半平面模型
*本原测地线（）
*施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理

引用

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
• Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)