利布-舒爾茨-馬蒂斯（Lieb–Schultz–Mattis）定理，簡稱：LSM 定理，是凝聚態理論物理中的一個重要結果。它最早是用來研究一維的量子自旋系統，例如海森堡模型。簡單來說，這個定理告訴我們：如果一條自旋鏈（想像成一排小磁針）同時具有平移對稱性（每個位置看起來都一樣）和旋轉對稱性（磁針方向可以自由旋轉），而且每個磁針的自旋是「半整數」的話，那麼這個系統就不可能擁有一個唯一且有能隙的基態。
換句話說，這樣的量子系統在最低能量狀態下，一定會有某種「退不掉的複雜性」：要嘛基態是多重的，要嘛系統保持在一種沒有能隙的「臨界狀態」。這個結論非常深刻，因為它說明了對稱性和微觀結構會嚴格限制一個系統的低能行為。
LSM 定理不只是數學上的巧妙推論，它對實驗物理也有巨大影響。特別是在尋找「量子自旋液體」這種奇特的物質狀態時，LSM 定理提供了方向和判斷的依據。在過去幾十年裡，科學家們把 LSM 定理推廣到更廣泛的情況：不只是單純的一維自旋鏈，還包括高維系統、具有離散對稱性的模型，甚至是涉及費米子的系統或是開放量子系統。這些研究顯示，LSM 定理是理解量子磁性和強關聯電子行為的一把鑰匙。
LSM 定理命題與證明
以下詳細介紹原始 LSM 定理的數學命題與證明，僅適合對量子力學的數學工具（例如：bra-ket）和自旋有一定熟悉程度的讀者。
數學命題
考慮一維反鐵磁海森堡模型，其哈密頓量是
:H=J\sum_{j=1}^{L-1}\vec S_j\cdot\vec S_{j+1}+J\vec S_L\cdot\vec S_1
其中 J>0 且 L 是偶數。對於半整數的自旋鍊，例如：S=1/2, 3/2,...，存在一個激發態使得激發能量在 L\to0 極限下為零。
考慮基態為 |\Psi_0\rangle，滿足 H|\Psi_0\rangle=E_0|\Psi_0\rangle，其中 E_0是基態能量。定義扭轉算符 \mathcal{O} 如下：
:\mathcal{O}=\exp\left(i\frac{2\pi}{L}\sum_{j=1}^LjS_j^z\right)
此扭轉算符將自旋鍊上每一個自旋按照不同的位置 j 延 z 軸旋轉 \theta_j=\frac{2\pi}{L}j 的角度。定義扭轉態 |\Psi_T\rangle 為扭轉算符作用在基態上，|\Psi_T\rangle=\mathcal{O}|\Psi_0\rangle。
原始 LSM 定理包含兩個以下命題。
命題 1
扭轉態是一個不同於基態的本徵態，也就是說扭轉態和基態正交。
:\langle\Psi_T|\Psi_0\rangle=0
命題 2
扭轉態的能量期望值和基態能量的差在熱力學極限下趨近於零。
:\lim_{L\to\infty}[\langle\Psi_T|H|\Psi_T\rangle-E_0]\to0
數學證明
證明 1
證明 2
LSM 定理推廣
參考文獻
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