反扭稜大星形十二面體

反扭稜大星形十二面體是一種星形均勻多面體，由80個正三角形和12個正五角星組成，索引為U69，對偶多面體為，具有。

性質
反扭稜大星形十二面體共由92個面、150條邊和60個頂點組成。在其92個面中，有80個正三角形面和12個正五角星面。這80個三角形面中有60個來自扭稜變換。

頂角的組成
在反扭稜大星形十二面體的60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以反向相接正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用來表示。

與扭稜大星形十二面體不同，反扭稜大星形十二面體中的五角星與周邊面相接的方式相反，因而構成了一個幾何上不同，但拓樸上相同的結構。其拓樸結構也與扭棱十二面体相同。

表示法
反扭稜大星形十二面體在中可以表示為，在施萊夫利符號中可以表示為，在威佐夫記號中可以表示為。

尺寸
若反扭稜大星形十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：
:R = \frac12\sqrt{\frac{2-x}{1-x}} = 0.816081\dots
其中x是x^3+2x^2=\Big(\tfrac{1\pm\sqrt5}2\Big)^2的實根。
以R^2為變數的六次方程
:4096R^{12} - 27648R^{10} + 47104R^8 - 35776R^6 + 13872R^4 - 2696R^2 + 209 = 0
共有4個實根，分別是扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體、反扭稜大星形十二面體和大反屈扭稜截半二十面體的外接球半徑。

頂點座標
反扭稜大星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換：
:\left(\pm 2\alpha, \pm 2, \pm 2\beta\right)、
:\left(\pm\left(\alpha-\beta\tau-\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(\frac{\alpha}{\tau}+\beta-\tau\right), \pm\left(-\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}-1\right)\right)、
:\left(\pm\left(\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}+1\right), \pm\left(-\alpha-\beta\tau+\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(-\frac{\alpha}{\tau}+\beta+\tau\right)\right)、
:\left(\pm\left(\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}-1\right), \pm\left(\alpha+\beta\tau+\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(-\frac{\alpha}{\tau}+\beta-\tau\right)\right)和
:\left(\pm\left(\alpha-\beta\tau+\frac{1}{\tau}\right), \pm\left(-\frac{\alpha}{\tau}-\beta-\tau\right), \pm\left(-\alpha\tau-\frac{\beta}{\tau}+1\right)\right)，
帶有偶數個正號，其中
: \alpha = \frac{\xi-1}{\xi}
且
: \beta = -\frac{\xi}{\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\frac{1}{\xi\tau}
其中\tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2}為黃金比例、
\xi是方程式\xi^3-2\xi=-\frac{1}{\tau}的正實根，約為1.2224727。
若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到反扭稜大星形十二面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體。

參見
*
*扭稜大星形十二面體

參考文獻