除以零

在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數除以零，可表達為\frac{a}{0}，a是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設a\neq 0），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零會直接顯示#DIV/0!
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基本算術
基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若-{干}-等份。例如，10個蘋果平分給5人，每人可得\frac{10}{5} = 2個蘋果。同理，10個蘋果只分給1人，則其可獨得\frac{10}{1} = 10個蘋果。

若除以0又如何？若有10顆蘋果，無人（0解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，\frac{10}{0}，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「13除以5」，換一種說法，13減去兩個5，餘下3，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為\frac{13}{5} = 2餘數3。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

早期嘗試
婆羅摩笈多（598–668年）的著作《》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

830年，另一位數學家在其著作《》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓\frac{n}{0}=\infty。雖然此定義有一定道理，但會導致一个悖論：0\times\infty的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。

在微積分和数学分析中，像0\times\infty或\frac{0}{0}這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意数。

手機計算器除以0顯示無限大]]

代數處理
若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即\frac{a}{b}值是方程bx = a中x的解（若有的話）。若設b = 0，方程式bx = a可寫成0 \times x = a或直接0 x= a。因此，方程式bx = a沒有解（当a \neq 0时），但x是任何數值也可解此方程（当a = 0时）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以\frac{a}{b}未能下定義。

除以零的謬誤
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：2 = 1

式：
:0a = 0
試：
:a = 1：正確
:a = 2：正確
得出：
:0\times 1 = 0\times 2
除以零得出
: \frac{0}{0}\times 1 = 2
簡化，得出：
:1 = 2\,
以上謬論假設，某數除以0是容許的，並且\frac{0}{0}=1。

另一个简洁的证明

通过上面的過程，证明了一切数字等于0。此謬論是由於簡化的过程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為(a-b)是零，所以不能夠把左右兩邊的(a-b)刪去。

虛假的除法
在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設\frac{a}{b}=a b^+，當中b^+代表b的虛構倒數。這樣，若b^-存在，則b^+ = b^-。若b=0，則0^+ = 0；參見广义逆。

數學分析
扩展的实数轴
表面看來，可以藉着考慮隨着b趨向0的\frac{a}{b}來定義「除以零」。

對於任何正數a，右極限是
:\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty
另一方面，左極限是
:\lim_{b \to 0^{-}} {a \over b} = {-}\infty
由於左極限及右極限不相同，因此函數在x=0的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若a是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用洛必達法則計算。

不定型極限
不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四则运算或洛必達法則計算。

考慮函數 f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}

如果直接代入x=3，會得到零除以零，這是沒有意義的。
: f(3) = \frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0}

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。
: \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3} x+3=6

此外，函數的極限可透過洛必達法則計算。
:\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

若隨着x趨向0，f(x)與g(x)均趨向0，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎f及g是何函數。

形式推算
運用，正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

:\lim\limits_{x \to 0} {\frac{1}{x} =\frac{\lim\limits_{x \to 0} {1}}{\lim\limits_{x \to 0} {x}}} = \infty.

黎曼球
集合\mathbb{C}\cup\{\infty\}為黎曼球（），在複分析中相當重要。

计算机科学
在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或未定义行为，而浮点数除以零的结果如下：

*零与NaN除以零：NaN（注：NaN不等于NaN）
*零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正无穷大
*零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以-0、-1除以0）：负无穷大

注釋
參考

1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.).

Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

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