古德曼函數

古德曼函數（Gudermannian function）是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。
性質
\scriptstyle{y=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!。]]

古德曼函數的定義如下
:\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \qquad -\infty

（\begin{align}{\rm{gd}}(x)=\mathrm{arccot}\left(\mathrm{csch}\,x \right)\end{align}\,\!僅在arccot的值域設為[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]時成立，參見反餘切。）

有以下恆等式：

:\begin{align}\sin\left(\operatorname{gd}x\right)&=\tanh x ;&\quad\cos\left(\operatorname{gd} x\right)&=\mbox{sech} x\\
\tan\left(\operatorname{gd} x\right)&=\sinh x ;&\quad\sec\left(\operatorname{gd} x\right)&=\cosh x\\
\cot\left(\operatorname{gd} x\right)&=\operatorname{csch} x ;&\quad\csc\left(\operatorname{gd} x\right)&=\coth x\\
\tan\left(\frac{\operatorname{gd} x}{2}\right)&=\tanh\frac{x}{2} ;&\quad\cot\left(\frac{\operatorname{gd} x}{2}\right)&=\coth\frac{x}{2}\\
\end{align}\,\!

反函數
\scriptstyle{x=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!。]]

古德曼函數之反函數的定義為：

:\begin{align}
\operatorname{arcgd}x &=\operatorname{gd}^{-1}x=\int_0^x\frac{dt}{\cos t}\qquad -\pi/2

有以下恆等式：

:\begin{align}\sinh\left(\operatorname{gd}^{-1}x\right)&=\tan x;&\quad\cosh\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\sec x\\
\tanh\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\sin x ;&\quad\;\mbox{sech}\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\cos x\\
\coth\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\csc x ;&\quad\,\mbox{csch}\left(\operatorname{gd}^{-1} x\right)&=\cot x\\
\tanh\left(\frac{\operatorname{gd}^{-1} x}{2}\right)&=\tan\frac{x}{2};&\quad\,\coth\left(\frac{\operatorname{gd}^{-1} x}{2}\right)&=\cot\frac{x}{2}\\
\end{align}\,\!
餘函數
古德曼函數之餘函數的定義為：

:\begin{align}
\operatorname{cogd} x&=
\begin{cases}
\int_x^\infty\frac{dt}{\sinh t}\qquad 0

有以下恆等式：

:\begin{align}\sinh \left(\operatorname{cogd} x\right)&=\operatorname{csch} x ;&\quad\;\cosh\left(\operatorname{cogd} x\right) &=\coth{\left|x\right|}\\
\tanh{\left|\operatorname{cogd} x\right|}&=\operatorname{sech} x ;&\quad\;\mbox{sech}\left(\operatorname{cogd} x\right) &=\tanh{\left|x\right|}\\
\coth{\left|\operatorname{cogd} x\right|}&=\cosh x ;&\quad\,\mbox{csch}\left(\operatorname{cogd} x\right)&=\sinh x\\
\end{align}\,\!

微分
它們的導數分別為：

:\begin{align}\frac{d}{dx}\operatorname{gd} x=\operatorname{sech} x;\quad\frac{d}{dx}\operatorname{arcgd} x=\sec x;\quad\frac{d}{dx}\operatorname{cogd} x=-\operatorname{csch}{\left| x\right|} \\
\end{align}\,\!

應用
*在雙曲幾何中，表達式
:\frac{\pi}{2} - \mbox{gd} (x)
:定義了函數。

*在使用麥卡托投影法的地圖，若以y\,表示一個地點在地圖跟赤道的距離，則其緯度\phi\,和y\,的關係為：
: \phi = \mbox{gd} (y)\,

*古德曼函數在倒單擺的非週期解中出現。

參考

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
• [http://mathworld.wolfram.com/GudermannianFunction.html Gudermannian Function -- from Wolfram MathWorld]

發現者的生平
克里斯托夫·古德曼（Christof Gudermann，1798年–1852年）是德國數學家，是高斯的學生，卡爾·魏爾施特拉斯的老師。[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gudermann.html] [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/html/id.phtml?id=29458]