餘弦定理

餘弦定理是三角形中三邊長度與一個角的余弦值（\cos）的數學式，余弦定理指的是：
:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

同樣，也可以將其改為：
:b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos\beta
:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

其中c是\gamma角的對邊，而a和b是\gamma角的鄰邊。

勾股定理則是余弦定理的特殊情況，當\gamma為90^\circ時，\cos\gamma=0，等式可被簡化為

: c^2 = a^2 + b^2

當已知三角形的兩邊和一夾角時，余弦定理可用於計算第三邊的長；當已知三邊長度時，則可用於求出任何一個角。

歷史
余弦定理的歷史可追溯至公元三世紀前歐幾里得的幾何原本，在書中將三角形分為鈍角和銳角來解釋，這同時對應現代數學中余弦值的正負。根據幾何原本第二卷的命題12和13，並參考右圖，以現代的數學式表示即為：

: \overline{AB}^2 = \overline{CA}^2 + \overline{CB}^2 + 2(\overline{CA})(\overline{CH})\,

其中\overline{CH} = \overline{BC}\cos(\pi - \gamma) = -\overline{BC}\cos\gamma，將其代入上式得到：

:\overline{AB}^2 = \overline{CA}^2 + \overline{CB}^2 - 2(\overline{CA})(\overline{BC})\cos\gamma

證明
三角函數
見右圖，在c上做高可以得到（投影定理）：

:c=a\cos\beta+b\cos\alpha

將等式同乘以c得到：

:c^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha

運用同樣的方式可以得到：

:a^2 = ac\cos\beta + ab\cos\gamma
:b^2 = bc\cos\alpha + ab\cos\gamma

將c^2的右式取代：
:c^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha = (a^2 - ab\cos\gamma) + (b^2 - ab\cos\gamma) = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

勾股定理
勾股定理之一
設\triangle ABC中，\overline{AB}=c，\overline{BC}=a，\overline{AC}=b。過B點作AC的垂線，垂足為D，如果D在AC內部，則BD的長度為a \sin C，DC的長度為a \cos C，AD的長度為b - a \cos C。根據勾股定理：
:c^2=(a\sin C)^2+(b-a\cos C)^2 \,
:c^2=a^2\sin^2 C+b^2-2ab\cos C+a^2\cos^2 C \,
:c^2=a^2(\sin^2 C+\cos^2 C)+b^2-2ab\cos C \,
:c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \,

如果D在AC的延長線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。

勾股定理之二
設\triangle ABC中，\overline{AB}=c，\overline{BC}=a，\overline{AC}=b。過B點作\overline {AC}的垂線，垂足為D，設\overline{AD}=x，則\overline{CD}=b-x，根據勾股定理：
:c^2-x^2=\overline{BD}^2=a^2-(b-x)^2
:c^2-x^2=a^2-b^2-x^2+2bx
:c^2=a^2-b^2+2bx
:x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}
:\cos A=\frac{x}{c}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

如果D在\overline {AC}的延長線上，證明是類似的。同理可以得到其他的等式。

應用
餘弦定理是解三角形中的一個重要定理。
求邊
餘弦定理可以簡單地變形成：
:a = \sqrt {b^2 + c^2 - 2bc\cos A}
:b = \sqrt {c^2 + a^2 - 2ac\cos B}
:c = \sqrt {a^2 + b^2 - 2ab\cos C}
因此，如果知道了三角形的兩邊及其夾角，可由餘弦定理得出已知角的對邊。

求角
余弦定理可以简单地变形成：
:\cos A = \frac\,\!
:\cos B = \frac\,\!
:\cos C = \frac\,\!
因為餘弦函數在( {{\rm{0}},\pi } )上的單調性，可以得到：
:\angle A = \arccos \frac\,\!
:\angle B = \arccos \frac\,\!
:\angle C = \arccos \frac\,\!
因此，如果已知三角形的三邊，可以由餘弦定理得到三角形的三個內角。

參見

• 三角形
• 勾股定理
• 正弦定理
• 正切定理
• 角平分線長公式
• 中線長公式

參考資料