实数完备性

直观上，实数完备性（）意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等價命題
实数完备性可以用以下任意一个等价定理作為出發點。以下從最小上界定理出发，來证明其他等价命题。

最小上界性
又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是

也就是說，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

柯西收敛准则
设 \{ s_n\}_{n\in\N} 是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 \{ s_n\}_{n\in\N} 中的有限個成員。\forall\varepsilon\in\R ^+，设 N\in\N^{+} 使得 \forall n,m\ge N， |s_n-s_m|。於是这个序列在区间 (s_N-\varepsilon ,s_N+\varepsilon ) 裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着 s_N-\varepsilon\in S， 因此 S\not=\emptyset。另外 s_N+\varepsilon 是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 s_N-\varepsilon\le b\le s_N+\varepsilon 。由三角不等式，當 n>N 時成立时 d(s_n,b)\le d(s_n,s_N)+d(s_N,b)\le\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon。所以 s_n\longrightarrow b 。

滿足柯西收敛准则的度量空間稱為完備空間，若取函數 d 為

: d =
\left\{
(a,\,b)
\bigg|
(a,\,b\in\R)
\wedge
(b = |a|)
\right\}

可以驗證 (\R,\,d) 為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 \R 有最小上界定理等價於 (\R,\,d) 為完備空間。」

区间套原理
定理聲稱對於任一的有界閉區間套（例如並滿足），它們的交集非空，且為閉區間[\lim_{n\to \infty}a_n, \lim_{n\to \infty} b_n]；特別地，假若\lim_{n\rightarrow \infty}a_n-b_n=0，則它們的交集J為一個包含且僅包含\lim_{n\rightarrow \infty}a_n的單點集。

单调有界定理
如果\{a_k\}_{k=1}^\infty是一个单调的实数序列（例如單調遞增：a_k \leq a_{k+1}），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列有界。此定理可以由LUB公理證明。

聚点定理
波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（）说明，\mathbb{R}中的一個子集E是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）当且仅当E是有界閉集。更一般地，這個定理對有限维实向量空间\mathbb{R}^n亦有效。

参考资料
*[http://eom.springer.de/U/u095810.htm Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics]
*Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).