同界角

在幾何學中，同界角（）是指兩個有向角（有標示起始邊與終邊的角）有著各自的角度量值（其量值可能相等），且共用同一對起始邊與終邊，即共享相同始邊和終邊的角度，但擁有不同的旋轉量，就稱為同界角。同界角擁有相同的三角函數值，因此三角函數具有周期性。每個角皆有無限多個同界角，其量值可以為負，但必須是一個實數。

性質
和逆轉都可以得到相同的角，但他們擁有不同的旋轉量，圖中為45度和─315度]]
每個同界角皆差360度，換句話說，每360度就會出現一個同界角。每個同界角兩邊的向量內積與外積皆有相同的值。此外，任何角都可以找到最小正同界角和最大負同界角。

同界角可以如下定義：
#若有兩個角有相同的始邊與終邊，則兩個角互為同界角
#若兩角相差360度的整數倍則兩個角互為同界角

同界角存在關係式：
:\theta_{1}-\theta_{2} = 360^{\circ}k,\,k \in \mathbb{Z}
亦可寫為：
:\theta_{1}-\theta_{2} = 2k\pi,\,k \in \mathbb{Z}
或：
:\sin \theta_{1}-\sin \theta_{2} = 0
:\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2} = 0

與三角函數關係
的周期可以發現，每間隔2\pi就會找到相同高度的點，該點即為同界角的三角函數值。]]
圖形得知反餘弦必得到最小正同界角，而反正弦則有可能得到最小正同界角或最大負同界角]]

從三角函數的诱导公式可以得知同界角的存在，下表指出，任何三角函數，只要位移為2\pi，就會得到相同的函數值，因此\theta與\theta + 2\pi互為同界角。

另外，從簡單的三角方程中，也可以找到同界角，例如：
:考慮方程\cos(\theta)=k\,,\,\theta有無限多組解，其中\arccos(k)為一個解且為最小正同界角，其餘解皆與\arccos(k)或是-\arccos(k)互為同界角。

但是有例外，如正切和餘切，由於其週期不為360度，如正切函數的周期為180度（即\pi），因此相同的函數值未必互為同界角。

最小正同界角與最大負同界角
同界角通常有無窮多個，因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時，會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中，在0到2\pi（360度）之間的最小正同界角與原始角相同，當原始角為2\pi（360度）或2\pi（360度）的倍數時，最小正同界角為零；

參見
*角
*角度
*三角函數

參考文獻