錢珀瑙恩數

錢珀瑙恩數（）是一個實數的超越數，其十進制表示法有重要的特性，得名自數學家，在1933年以本科生(剑桥大学)的身份發表有關錢珀瑙恩數的論文。

在十進制下，可以用連續整數來定義錢珀瑙恩數：

C_{10} = 0.12345678910111213141516... .

也可以定義其他進制系統下的錢珀瑙恩數：

C_2 = (0.1101110010111011110001001...)_2

C_3 = (0.12101112202122100101102110...)_3

C_{36} = (0.123456789ABCDEFGHIJ...)_{36}

錢珀瑙恩字（Champernowne word）或是巴比尔字（Barbier word）是指由Ck各位數形成的數列。

十進制下的錢珀瑙恩數為正規數，是每個數字出現機會均等的實數。

性質
实数x若在某一進制b下，其數字都是均勻分佈，此實數在底數b下為正规数。均勻分佈的意思是所有數字出現比率相近，所有二位數字組合出現比率相近，所有三位數字組合出現比率相近等。若實數在所有進制都是正规数，則稱為絕對正規數。

若將一數字的各位數組成一字串，為[a0, a1, ...]，而此數字在10進制下正規數，因此可以預期，此字串中，字串[0], [1], [2], …, [9]出現的機率都是1/10，而字串[0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9]出現的機率都是1/100。

錢珀瑙恩證明了C_{10}在十進制下為正規數，Nakai和Shiokawa證明了更通用的定理：也就是C_{b}在b進制下都會正規數。有關在b \neq k的條件下，C_{k}在b進制是否是正規數，這問題是還沒有答案的開放問題。例如，目前還不知道C_{10}在9進制下是否是正規數。例如C_{10}的前54位數是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313，在9進制下表示為{0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_9。

證明錢珀瑙恩數是超越數。C_{10}的（表示用有理數近似此數字的困難程度）為\mu(C_{10})=10，而針對b\ge 2的進制b，\mu(C_b)=b。

相關條目
*科普蘭—艾狄胥常數：另一個用質數定義的正規數。
*劉維爾數：另一個用十進制定義的超越數。

參考資料
文獻
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外部連結
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*[http://www.matifutbol.com/docs/units/pencil.html The fantastic pencil and the Champernowne constant]