A \land B]]
在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。
相关名称
:基本符号：\land
:英文名：logical conjunction
:中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门，...
:命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。
基本定义
:逻辑与（logical conjunction）是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。
:逻辑与\land是个二元算子，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。
:复合命题~A \land B，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。也有称为合取命题的。
真值表定义
A与B的真值表（也写作A \land B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A\cdotB（电子学））。
~A \land B 的真值表:
推理規則
合成与分解规则
合取引入规则
合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）或联言推理的合成式，是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。
其形式如下：
:A,
:B.
:因此A且B.
形式化为：
:\mathbf{A},
: \mathbf{B}
: \vdash A \land B
下面的例子是满足联言推理的合成式的论证：
:小橘子是正妹。
:小橘子是車神。
:因此小橘子是正妹也是車神。
另一個例子如下：
:1小于2
:6大于5
:因此，1小于2，而且6大于5。
還有一個例子如下：
:有一些PSPACE問題不是NL問題
:有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
:因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
合取消去规则
合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。
其形式如下：
:A且B。
:因此A。
...或者，
:A且B.
:因此B.
用逻辑运算符描述为，
形式化为:
: A \land B
: \vdash A
或者,
: A \land B
: \vdash B
例如:
:有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
:因此有一些PSPACE問題不是NL問題
或者
:有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題
:因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
另一個例子如下：
:1小于2，而且6大于5。
:因此1小于2。
或者
:1小于2，而且6大于5。
:因此6大于5。
還有一個例子如下：
:小橘子是正妹也是車神。
:因此小橘子是正妹。
或者
:小橘子是正妹也是車神。
:因此小橘子是車神。
性质
逻辑与满足以下性质：
*结合律: A \land (B \land C) \equiv (A \land B) \land C
*交换律: A \land B \equiv B \land A
*分配律: (A \land (B \lor C)) \equiv ((A \land B) \lor (A \land C))
:::(A \lor (B \land C)) \equiv ((A \lor B) \land (A \lor C))
*幂等律: A \land A \equiv A
*单调性: (A \rightarrow B) \rightarrow ((C \land A) \rightarrow (C \land B))
:::(A \rightarrow B) \rightarrow ((A \land C) \rightarrow (B \land C))
*保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。
*保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。
如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。
计算机科学中的运用
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位运算
逻辑与常在位运算中使用，比如：
- 0 and 0 = 0
- 0 and 1 = 0
- 1 and 0 = 0
- 1 and 1 = 1
- 1100 and 1010 = 1000
编程中的使用
在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。
布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。
在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。
交集运算
集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x \in A \cap B 当且仅当 (x \in A) \land (x \in B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。
註釋
参见
*与门
相关网页
*[http://mathworld.wolfram.com/Conjunction.html Wolfram Mathematics Conjunction]
*[http://www.allmathwords.org/en/c/conjunction.html All Math Words Encyclopedia Conjunction]
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