在數學上，超現實數系統（）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、、和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。
超現實數是由約翰·何頓·康威所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納在他的書《研究之美》中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
概述
康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 \{ L | R \}。这两个集合要求 L 里的每个元素都严格小于每个 R 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：\{1|3\}=\left\{\frac 32|\frac 52\right\}=2。
整数及二进分数
让我们先来看几个简单的例子。
: \{|\}=0
: \{0|\}=1
: \{1|\}=2
: \{|0\}=-1
: \{|-1\}=-2
因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）
: \{0|1\}=\frac 12
: \left\{0|\frac 12\right\}=\frac 14
: \left\{\frac 12|1\right\}=\frac 34
至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。
其他实数
为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\}，\pi = \{ 3, \frac{25}{8},\frac{201}{64},\ldots | 4, \frac{7}{2}, \frac{13}{4}, \frac{51}{16},\ldots \}，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。
无穷数
根据归纳法，我们可以构造出 \omega=\{0,1,2,3\ldots|\}，\omega-1=\{0,1,2,3\ldots|\omega\} 等无穷大的数，\frac 1\omega=\{0|1,\frac 12,\frac 14,\frac 18\ldots\} 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。
更多的数
我们定义 P_0 = {0}。
若 x=\{L|R\},\ L,R\subset P_i 且 x\not\in P_i，那么 x\in P_{i+1}，这在直观上等价于“x是在第i天中出生的”。
那么我们可以观察发现：
- 1,-1\in P_1
- 2,-2,\frac 12, -\frac 12\in P_2
- \pi, \omega, \frac 13\in P_\omega
- \omega-1, \omega+1 \in P_{\omega+1}
- \omega+\pi \in P_{2\omega}，其中2\omega=\{0,1,2,\ldots,\omega+1,\omega+2,\ldots|\}
- \forall i \in \mathbb{Ord}: i\in P_i
我们将超现实数集合称作 \mathbb{No}。
序关系
给定 x=\{X_L|X_R\},\ y=\{Y_L|Y_R\}，我们（递归地）定义 x\leq y 当且仅当以下两命题同时成立：
*没有一个 x_L\in X_L 符合 y \leq x_L，
*没有一个 y_R\in Y_R 符合 y_R\leq x。
那么可以自然地定义 xy,x=y,x\geq y。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。
我们分别将 x0, x\leq 0, x\geq 0 称为 x 负、 x 正、 x 非正、 x 非负。
我们定义 x\|y 表示 x\leq y 与 y\leq x 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。
运算
加法
我们定义超现实数之间的加法为 x+y=\left\{X_L+y\cup x+Y_L | X_R+y\cup x+Y_R\right\}，其中 X+y=\left\{ x + y | x \in X\right\}, x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}。
加法逆元
我们定义负号（加法逆元）为 -x=\left\{-X_R|-X_L\right\}，其中 -X=\left\{-x|x\in X\right\}。
可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。
乘法
我们定义乘法运算为x y = \left\{ (X_Ly+xY_L-X_LY_L) \cup (X_Ry+xY_R-X_RY_R)|(X_Ly+xY_R-X_LY_R) \cup (X_Ry+xY_L-X_RY_L) \right\}，其中 XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}。
乘法逆元
我们定义（正数的）乘法逆元为\frac 1y = \Bigg \{0, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^L}{y^R}, \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^R}{y^L} \Bigg | \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^L}{y^L}, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^R}{y^R} \Bigg \}，这样除法就是 \frac{x}{y}=x\left(\frac{1}{y}\right)。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取y = 3 = \{2|\} 那么 \frac 13 会有一个 0 作为左项，导致了\frac{1+(2-3)0}2=1/2 会是一个右项。这又意味着 \frac{1+(2-3)\left(\frac12\right)}2=\frac14 作为左项、\frac{1+(2-3)\left(\frac14\right)}2 = \frac 38 作为右项，以此类推，所以我们有\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\} （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 \frac 13，因此是相容的）。
对于负数，我们定义 \frac 1x= -\frac1{-x}\quad (x。
子集对应
有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。
有理数
所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。
实数
在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。
假设x\in \mathbb R, x=A|A'，其中 A, A' \subset \mathbb{Q}，那么立刻可知存在 X\in \mathbb{No}, X=\left\{f(A) | f(B)\right\} 是 x 的一个超现实数表示，其中 f:\mathbb Q \to \mathbb {No} 是有理数到超现实数的域同態。
序数
我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为\mathbb{Ord}，那么我们有：
- f:\mathbb{Ord}\to \mathbb {No},\ f(X)=\left\{f(x), x\in X|\right\}
这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 \omega-1 这一式子的值在序数中的结果是 \omega，而在超现实数中则是 \{0,1,2,\ldots|\omega\}.
博弈
如果去除超现实数定义中对所有 L 的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。
显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如 \star=\{0|0\} 就不是，其满足 \star \| 0。
可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称左玩家）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称右玩家）的选择，不能操作者负。
两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。
我们可以发现，这个游戏的胜负取决于 G 和 0 的相对关系。
- 若 G=0，则后手必胜。
- 若 G>0，则左玩家必胜。
- 若 G，则右玩家必胜。
- 若 G\|0，则先手必胜（）。
有以下这些特殊的游戏：
- \star=\{0|0\}
- \uparrow=\{0|\star\},\ \downarrow=\{\star|0\}
- \pm 1=\{1|-1\}
可以发现，关于他们有这么几个性质：
- \star \| 0
- \forall i: -1\leq i \leq 1 \implies \pm 1 \| i
- \forall x\in \mathbb{No}, x>0:-x （比所有超现实数更接近0）
- \star+\star=\uparrow+\downarrow=0
- (\uparrow+\star)\|0,\ \uparrow+\uparrow+\star>0
可以用于分析复杂的游戏。
暫譯術語
- 超現實數（Surreal）
- 無窮量（Infinitesimal）
- 格羅滕迪克宇集
注释
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