英國國旗定理

的面積等於藍色正方形的面積]]

歐幾里得幾何的英國國旗定理（）的大意是：若在一ABCD的矩形內選擇任意一點P，那麼從P到任意兩對角的歐幾里得距離，其平方和等於另外兩對角的歐幾里得距離平方和。若化為等式則寫作：

\overline{AP}^2 + \overline{CP}^2 = \overline{BP}^2 + \overline{DP}^2

英國國旗定理不僅適用於矩形內的點：其範圍還擴及矩形以外、以致歐幾里得空間中一矩形嵌入該空間的四點，到任意一點的距離。進一步言，若比較從P點到平行四邊形兩組對角的距離平方和，兩者通常不會相等；但其差異值只取決於平行四邊形的形狀，而非P的位置。

英國國旗定理常被視為畢氏定理的延伸：這是因為前者將P點放在矩形四點中的任意一處後，會發現矩形對角線的平方，等於矩形長寬的平方；而後者的大意，則是直角三角形中兩邊直角長的平方和，等于斜邊長的平方。

證明
如圖所示，在長方形\Box{ABCD}中，給P點作垂線後，垂線對應的四個點WXYZ就會構成一正交四邊形的頂點。此時已知\triangle AWP為直角三角形、且WP = AZ後，可透過畢氏定理得知：

AP^2 = AW^2 + WP^2 = AW^2 + AZ^2

P點到其他三個角（B、C、D）的平方也可同理得知：

PC^2 = WB^2 + ZD^2,
BP^2 = WB^2 + AZ^2,
PD^2 = ZD^2 + AW^2.

因此可得證：

\begin{align}
AP^2 + PC^2 &= \left(AW^2 + AZ^2\right) + \left(WB^2 + ZD^2\right) \\[4pt]
&= \left(WB^2 + AZ^2\right) + \left(ZD^2 + AW^2\right) \\[4pt]
&= BP^2 + PD^2
\end{align}

等腰梯形
英國國旗定理可以推到關於（凸）等腰梯形的斷言。更精確地說，針對\overline{AB}和\overline{CD}平行且內P點的梯形ABCD而言，以下等式成立：
|AP|^2+\frac \cdot |PC|^2=|BP|^2+\frac \cdot |PD|^2
對矩形而言，\tfrac的分數計算結果為1，因而得證。

命名
]]
英國國旗定理得名於英國國旗：這是因為在一矩形中，P點到的四個角的結構、以及證明過程中附帶的垂線，與英國國旗的「米」字設計相似。

參見

• 披薩定理

參考資料
延伸閱讀
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