在量子力學裏，WKB近似（）是一種半經典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半經典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。

簡略歷史
WKB近似以三位物理學家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家哈罗德·杰弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了杰弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為KWB近似，在法國稱為BWK近似，只有在英國稱為JWKB近似。

數學概念
一般而言，WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數\epsilon\,\!。給予一個微分方程式，形式為
: \epsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n - 1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0\,\!。

假設解答的形式可以展開為一個漸近級數：
: y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!。

將這擬設代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取\delta \rightarrow 0\,\!的極限。這樣，就可以從S_0(x)\,\!開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目S_n(x)\,\!。

通常y(x)\,\!的漸近級數會發散。當n\,\!大於某值後，一般項目\delta ^n S_n(x)\,\!會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。

數學例子
設想一個二階齊次線性微分方程式
: \epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y \,\!；

其中，Q(x) \neq 0\,\!。

猜想解答的形式為
:y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]\,\!。

將猜想代入微分方程式，可以得到
:\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n*\right] = Q(x)\,\!。

取\delta \rightarrow 0\,\!的極限，最重要的項目是
:\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x)\,\!。

我們可以察覺，\delta\,\!必須與\epsilon\,\!成比例。設定\delta=\epsilon\,\!，則\epsilon\,\!的零次冪項目給出
:\epsilon^0: \qquad S_0'^2 = Q(x)\,\!。

我們立刻認出這是程函方程。解答為
:S_0(x) = \pm \int_{x_0}^{x}\sqrt{Q(t)}\,dt\,\!。

檢查\epsilon\,\!的一次冪項目給出
:\epsilon^1:\qquad 2S_0'S_1' + S_0* = 0\,\!。

這是一個一維傳輸方程式。解答為
:S_1(x) = - \frac{1}{4}\ln\left(Q(x)\right) + k_1\,\!；

其中，k_1\,\!是任意常數。

我們現在有一對近似解（因為S_0\,\!可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合：
:y(x)\approx c_1Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{ - \frac{1}{4}}(x)\exp\left[ - \frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right]\,\!。

檢查\epsilon\,\!的更高冪項目（n>2\,\!）可以給出：
: 2S_0'S_n' + S*_{n - 1} + \sum_{j=1}^{n - 1}S'_jS'_{n - j} = 0\,\!。

薛丁格方程式的近似解
解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟：

將波函數重寫為一個指數函數，

將這指數函數代入薛丁格方程式，

展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數，

匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式，

解析這些方程式，就會得到波函數的近似。

一維不含時薛丁格方程式為
: - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\,\!；

其中，\hbar\,\!是約化普朗克常數，m\,\!是質量，x\,\!是坐標，V(x)\,\!是位勢，E\,\!是能量，\psi\,\!是波函數。

稍加編排，重寫為
:\hbar^2\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) =2m \left( V(x) - E \right) \psi(x)\,\!。(1)

假設波函數的形式為另外一個函數\phi\,\!的指數（函數\phi\,\!與作用量有很密切的關係）：
:\psi(x) = e^{\phi(x)/\hbar} \,\!。

代入方程式(1)，
:\hbar\phi*(x) +\left[\phi'(x)\right]^2=2m\left( V(x) - E \right)\,\!；(2)

其中，\phi'\,\!表示\phi\,\!隨著x\,\!的導數。

\phi'\,\!可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數A(x)\,\!與B(x)\,\!：
:\phi'(x) = A(x) + i B(x)\,\!。

注意到波函數的波幅是\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]\,\!，相位是\int^x B(x')dx'/\hbar\,\!。將\phi'\,\!的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式：
:\hbar A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 =2m \left( V(x) - E \right)\,\!，(3)
:\hbar B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0\,\!。(4)

半經典近似
將A(x)\,\!與B(x)\,\!展開為\hbar\,\!的冪級數：
:A(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x)\,\!，
:B(x) =\sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x)\,\!。

將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。\hbar\,\!的零次冪項目給出：
:A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)\,\!，
:A_0(x) B_0(x) = 0\,\!。

假若波幅變化地足夠慢於相位（A_0(x) \ll B_0(x)\,\!），那麼，我們可以設定
:A_0(x) = 0\,\!，
:B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!。

只有當E\ge V(x) \,\!的時候，這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。

更精確一點，\hbar\,\!的一次冪項目給出：
:A_0'+2A_0 A_1 - 2B_0 B_1= - 2B_0 B_1=0\,\!，
:B_0'+2A_0 B_1+2B_0 A_1=B_0'+2B_0 A_1=0\,\!。

所以，
:B_1=0\,\!，
:A_1= - \frac{B_0'}{2B_0}=\frac{d}{dx}ln B_0^{ - 1/2}\,\!。

波函數的波幅是
\exp\left[\int^x A(x')dx'/\hbar\right]=\frac{1}{\sqrt{B_0}}\,\!。

定義動量p(x) = \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }\,\!，則波函數的近似為
:\psi(x) \approx \cfrac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm i \int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar} \,\!；(5)

其中，C_+\,\!和C_{-}\,\!是常數，x_0\,\!是一個任意參考點的坐標。

換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（B_0(x) \ll A_0(x)\,\!），那麼，我們可以設定
:A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }\,\!，
:B_0(x) = 0\,\!。

只有當V(x)\ge E\,\!的時候，這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為
:\psi(x) \approx \frac{C_{\pm}} {\sqrt{p(x)}} e^{\pm\int_{x_0}^x p(x') \mathrm{d}x'/\hbar}\,\!；(6)

其中，p(x) = \sqrt{ 2m \left(V(x) - E\right) }\,\!。

連接公式
顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在經典轉向點E = V(x)\,\!，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定x_1是經典運動允許區域。在這區域內，E>V(x)\,\!，波函數呈振動形式。其它區域x和x_2是經典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點x_2\,\!附近，將 \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)\,\!展開為一個冪級數：
:\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1(x - x_2) + U_2(x - x_2)^2 + \cdots\,\!；

其中，U_1,\,U_2,\,\cdots\,\!是常數值係數。

取至一階，方程式(1)變為
:\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \psi(x) = U_1(x - x_2) \psi(x)\,\!。

這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數：
:\psi(x) = C_{2A} \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right) + C_{2B} \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1}(x - x_2) \right)\,\!。

匹配艾里函數和在x的波函數，在x_2的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在x_2\,\!附近的連接公式（）：
:\psi(x) =
\begin{cases}
\cfrac{2C_2}{\sqrt{p(x)}} \sin \left(\cfrac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx'+\cfrac{\pi}{4}\right) & \mbox{if } x 。

類似地，也可以得到在x_1\,\!附近的連接公式：
:\psi(x) =
\begin{cases}
\cfrac{C_1}{\sqrt} \exp\left( - \int_x^{x_1} |p(x')|dx'/{\hbar}\right) & \mbox{if } x 。

量子化規則
在經典運動允許區域x_1內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量
:\theta_1= - \frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x} p(x')dx' - \frac{\pi}{4}\,\!，
:\theta_2=~\frac{1}{\hbar}\int_x^{x_2} p(x')dx' + \frac{\pi}{4}\,\!，
:\alpha=\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx/\hbar\,\!。

那麼，
:\alpha=\theta_2 - \theta_1 - \pi/2\,\!，
: - C_1 \sin \theta_1=C_2 \sin \theta_2=C_2\sin(\theta_1+\alpha+\pi/2)\,\!。

立刻，我們可以認定|C_1|=|C_2|\,\!。匹配相位，假若C_1=C_2\,\!，那麼，
:\alpha+\pi/2=(2m - 1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!。

所以，
:\alpha=(2m - 3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!。

假若C_1= - C_2\,\!，那麼，
:\alpha+\pi/2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!。

所以，
:\alpha=(2m - 1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!。

總結，量子系統必須滿足量子化守則：
:\int_{x_1}^{x_2} p(x)dx =(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!。

範例
考慮一個量子諧振子系統，一個質量為m\,\!的粒子，運動於諧振位勢V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\,\!；其中，\omega\,\!是角頻率。求算其本徵能級E_n\,\!？

能量為E\,\!的粒子，其運動的古典轉向點x_t\,\!為
:E=\frac{1}{2}m\omega^2 x_t^2\,\!。

所以，
:x_t=\pm \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2 }}\,\!。

粒子的動量為
:p(x)=\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,\!。

將這些變量代入量子化守則：
:\int_{ - 2E/m\omega^2}^{2E/m\omega^2}\,\sqrt{2m\left(E - \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\right)}\,dx=(n - 1/2)\pi\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!。

經過一番運算，可以得到本徵能量
:E_n=(n - 1/2)\omega\hbar,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots\,\!。

藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。

參閱

• 微擾理論 (量子力學)
• 量子穿隧效應
• 舊量子論

參考文獻
現代文獻
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歷史文獻
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