含時微擾理論

在量子力學裏，含時微擾理論研究一個量子系統的含時微擾所產生的效應。這理論由狄拉克首先發展成功。由於系統的含微擾哈密頓量含時間，伴隨的能級與本徵態也含時間。所以，不同於不含時微擾理論，含時微擾理論解析問題的目標為：
*給予初始量子態，求算某個可觀測量 A 的含時間期望值。
*一個量子系統的含時間量子態，仍舊是這系統的不含時零微擾哈密頓量 H_{0} 的本徵態的線性組合。求算這系統的量子態處於某個本徵態的機率幅。

第一個結果的重要性是，它可以預測由實驗測量得到的答案。例如，思考一個氫原子的電子，其所在位置的 x-坐標的期望值 \langle x\rangle ，當乘以適當的係數後，給出這電子的含時間偏振。將一個恰當的微擾（例如，一個震盪的電位）作用於氫氣，應用含時微擾理論，我們可以計算出交流電的電容率。詳細內容，請參閱條目介電譜學 () 。

第二個結果著眼於量子態處於每一個本徵態的機率。這機率與時間有關。在雷射物理學裏，假若我們知道這機率，我們就可以計算一個氣體，因為含時間電場的作用，處於某個量子態的機率密度函數。這機率也可以用來計算譜線的量子增寬 () 。

導引
讓我們簡略的解釋，含時微擾理論的狄拉克表述，其背後的點子。先為零微擾系統選擇一個能量本徵態的正交基 {|n\rangle} 。這些本徵態與時間無關。

假若，在時間 t = 0 ，零微擾系統處於本徵態 |j\rangle 。那麼，隨著時間流逝，這系統的量子態可以表達為（採用薛丁格繪景：量子態隨著時間流逝而演化，而對應於可觀察量的算符則與時間無關）
: |j(t)\rang = e^{ - iE_j t /\hbar} |j\rang ；

其中，E_j 是本徵態 |j\rangle 的能級，\hbar 是約化普朗克常數。

現在，添加一個含時間的哈密頓量微擾 V(t) 。包括微擾系統在內的哈密頓量 H 是
: H = H_0 + V(t) 。(1)

標記 |\psi(t)\rang 為含微擾系統在時間 t 的量子態。它遵守含時薛丁格方程式:
: H |\psi(t)\rang = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang 。(2)

在任何時間，量子態可以表達為本徵態的線性組合：
: |\psi(t)\rang = \sum_n c_n(t) e^{ - i E_n t / \hbar} |n\rang ；(3)

其中，c_{n}(t) 是複函數，稱為幅度。在這裏，我們顯性地表示出公式右手邊的相位因子 e^{ - i E_n t / \hbar} 。這只是為了便利因素。並不會因此而失去一般性。

假若系統的初始量子態是 |j\rang ，而又沒有微擾作用，則幅度會有很理想的性質：隨著時間的演化，
:c_j(t)=1 ，
:c_n(t)=0,\quad n\ne j 。

回思公式 (3) ，幅度 c_{n}(t) 的絕對平方是 |\psi(t)\rang 在時間 t 處於本徵態 |n\rang 的機率：
: \left|c_n(t)\right|^2 = \left|\lang n|\psi(t)\rang\right|^2 。

將公式 (1) 與 (3) 代入含時薛丁格方程式 (2) ，可以得到
:\begin{align}\left[H_0 + V(t)\right] \sum_n c_n(t) e^{ - i E_n t / \hbar} |n\rang
& = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(\sum_n c_n(t) e^{ - i E_n t / \hbar} |n\rang\right) \\
& =\sum_n \left( i\hbar \frac{\partial c_n(t) }{\partial t}+c_n(t) E_n\right) e^{- i E_n t /\hbar}|n\rang \\
\end{align}。

由於 H_0 |n\rang=E_n|n\rang ，這公式左手邊的 H_0 項目於右手邊的 E_n 項目相抵銷。所以，
: \sum_n\left(i\hbar \frac{\partial c_n(t)}{\partial t}\right) e^{- i E_n t /\hbar}|n\rang =\sum_n c_n(t)V(t) e^{- i E_n t /\hbar}|n\rang 。

將 \langle m| 內積於這公式兩邊，可以得到一組聯立的偏微分方程式：
: \frac{\partial c_m}{\partial t} = \frac{ - i}{\hbar} \sum_n \lang m|V(t)|n\rang \,c_n(t)\, e^{ - i(E_n - E_m)t/\hbar} 。

矩陣元素 \lang m|V(t)|n\rang 的角色，影響到量子態的幅度改變的速率 \frac{\partial c_m}{\partial t} 。可是，注意到這遷移內中含有一個相位因子。經過一段超久於 \hbar/(E_n - E_m) 的間隔時間，相位會轉繞很多圈次。

一直到此，我們尚未嘗試取近似值。所以，這一組偏微分方程式仍舊是精確的。通過給予初始值 c_n(0) ，原則上，我們可以找到（非微擾的）精確解。對於雙態系統，只有兩個能級 (n=1,\,2) 的量子系統，可以很容易的找到答案。而且，很多量子系統，像氨分子，氫分子離子 () ，苯分子等等，都可以用雙態系統模型來分析。但是對於更多能級的系統，找到精確解是非常困難的。我們只好尋找微擾解。我們可以用積分式來表達幅度：
: c_n(t) = c_n(0) + \frac{-i}{\hbar} \sum_k \int_0^t dt' \;\lang n|V(t')|k\rang \,c_k(t')\, e^{-i(E_k - E_n)t'/\hbar} 。

重覆的將 c_n(t) 的表達式代入這公式的右手邊，可以得到一個迭代解：
:c_n(t) = c_n^{(0)} + c_n^{(1)} + c_n^{(2)} + \cdots ；

其中，舉例而言，一階項目是
:c_n^{(1)}(t) = \frac{-i}{\hbar} \sum_k \int_0^t dt' \;\lang n|V(t')|k\rang \, c_k(0) \, e^{-i(E_k - E_n)t'/\hbar} 。

應用含時微擾理論，可以得到更多進一步的結果，像費米黃金律 () 或戴森級數 () 。費米黃金律計算，因為含時微擾，從某個能量本徵態發射至另外一個能量本徵態的躍遷率。通過應用上述迭代法於時間演化算符，可以得到戴森級數。這是費曼圖方法的起點之一。

參閱
*雙態系統
*吸收
*自發射 ()
*受激發射 ()
*拉比問題 ()

參考文獻
外部連結
*[https://web.archive.org/web/20100624233244/http://physicsstream.ucsd.edu/courses/fall2003/physics130b/movies/2003-11-19_full.mov 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：含時微擾理論]

Störungstheorie
Perturbation theory (quantum mechanics)
Teoría perturbacional
Théorie de la perturbation (mécanique quantique)
Teoria perturbativa
תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)
Teori usikan (mekanik kuantum)
Teoria perturbacji (mechanika kwantowa)
Teoria perturbacional