在靜電學裏，電勢能（）是處於電場的電荷分佈所具有的勢能，與電荷分佈在系統內部的組態有關。電勢能的單位是焦耳。電勢能與電勢不同。電勢定義為處於電場的電荷所具有的電勢能每單位電荷。電勢的單位是伏特。
電勢能的數值不具有絕對意義，只具有相對意義。所以，必須先設定一個電勢能為零的參考系統。當物理系統內的每一個點電荷相距无穷远且其相對靜止不動時，這一物理系統通常可以設定為電勢能等於零的參考系統。假設一個物理系統裏的每一個點電荷，從無窮遠处被一外力匀速地遷移到其所在位置，该外力做的总機械功為 W ，則定义這系統的電勢能 U 為
:U := W 。
在這過程裏，所涉及的機械功 W ，不論是正值或負值，都由這物理系統之外的機制賦予。並且，被匀速遷移的每一個點電荷都不會獲得任何動能。
如此計算電勢能，並沒有考慮到移動的路徑，這是因為電場是保守場，電勢能只跟初始位置與終止位置有關，與路徑無關。
計算電勢能
在一個物理系統內，計算一個點電荷所具有的電勢能的方法，就是計算將這點電荷Q從無窮遠位置遷移到其它固定位置電荷附近所需要做的機械功。而計算只需要两个参数：
#其它電荷所產生的電勢。
#點電荷Q的電荷量。
注意：这里的計算不需要知道其它電荷的電荷量，也不需要知道这一點電荷Q所產生的電勢。
儲存於點電荷系統內的電勢能
單點電荷系統
只擁有單獨一個點電荷的物理系統，其電勢能為零，因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷，所以，將點電荷從無窮遠移動至其最終位置，外機制不需要對它做任何機械功。特別注意，這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而，由於在點電荷的位置，它自己生成的電場為無窮大，所以，在計算系統的有限總電勢能之時，一般刻意不將這「自身能」納入考量範圍之內，以簡化物理模型，方便計算。
雙點電荷系統
思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷 q_1 的位置為坐標系的原點 \mathbf{O} ，則根據庫侖定律，點電荷 q_1 施加於位置為 \mathbf{r} 的第二個點電荷 q_2 的電場力為
:\mathbf{F}_{c}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} ；
其中，\epsilon_0 是電常數。
在移动點電荷 q_2 時，為保证匀速，外機制必须施加作用力 -\mathbf{F}_{c} 於點電荷 q_2 ，从而与电场力达到二力平衡。所以，機械功 W 為
:W=-\int_{\mathbb{L}}\mathbf{F}_{c}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{L}} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} 。
由於庫侖力為保守力，機械功與積分路徑 \mathbb{L} 無關，所以，可以選擇任意一條積分路徑。在這裡，最簡單的路徑為從無窮遠位置朝著 -\hat{\mathbf{r}} 方向遷移至 \mathbf{r} 位置的直線路徑。那麼，機械功為
:W=-\ \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r} 。
這機械功是無窮遠位置與 \mathbf{r} 位置之間的靜電能差別：
:W=U(\mathbf{r})-U(\infty) 。
設定 U(\infty)=0 ，則
:U(\mathbf{r})=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r} 。
現在，假設兩個點電荷的位置分別為 \mathbf{r}_1 、\mathbf{r}_2 ，則電勢能為
:U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2}{r_{12}} ；
其中，r_{12}=|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1| 是兩個點電荷之間的距離。
假設兩個點電荷的正負性相異，則電勢能為負值，兩個點電荷會互相吸引；否則，電勢能為正值，兩個點電荷會互相排斥。
三個以上點電荷的系統
對於三個點電荷的系統，外機制將其每一個單獨點電荷，一個接著一個，從無窮遠位置遷移至最終位置，所需要做的機械功，就是整個系統的靜勢能。以方程式表示，
:U= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(\frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right) ；
其中，q_1,q_2,q_3 為點電荷，r_{ij} 為第i個與第j個點電荷之間的距離。
按照這方法演算，對於多個點電荷的系統，按照順序，從第一個點電荷到最後一個點電荷，各自移动到最後對應位置。在第 i 個點電荷 q_i 遷移時，只會感受到從第 1 個點電荷到第 i-1 個點電荷的電場力，而機械功 W_i 是因為抗拒這些電場力而做出的貢獻：
:W_i= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\sum_{j=1}^{i-1} \frac{q_i q_j}{r_{ij}} 。
所有點電荷做出的總機械功（即總電勢能）為
:\mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_1}\right)=-\ \frac{(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}\right)\ \cdot\ \nabla\left(\frac{1}\right)\mathrm{d}^3 r \\
& =\frac{q_1 q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}\nabla\left(\frac{1}\right)\right]
-\ \left(\frac{1}\right)\nabla^2\left(\frac{1}\right)
\mathrm{d}^3 r \\
\end{align} 。
應用散度定理，可以將這方程式右手邊第一個項目，從體積積分變為面積積分：
: \int_{\mathbb{V}}\nabla\ \cdot\ \left[\frac{1}\nabla\left(\frac{1}\right)\right]\mathrm{d}^3 r =\oint_{\mathbb{S}}\left[\frac{1}\nabla\left(\frac{1}\right)\right]\cdot\mathrm{d}^2 r ；
其中，\mathbb{S} 是包住積分體積 \mathbb{V} 的閉曲面。
假設 \mathbb{V} 趨向於無窮大空間，則這面積積分趨向於零。再應用一則關於狄拉克δ函數的向量恆等式
: \nabla^2 \left(\frac{1}\right)= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') ，
可以得到
: U_{int}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{ALL\ SPACE}}\frac{\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_2)}\ \mathrm{d}^3 r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q_1 q_2} 。
這就是双点电荷系统的電勢能。
參考文獻
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