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几何中心

Wikipedia · 2026-04-15 维基百科 👁 1 阅读

n 维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是X中所有点的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是重心。

如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。

有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。

性質
一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。

三角形的中心
形心是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中线（頂點和對邊的中點的連線）交點。

三條中線共點證明
共點證明]]

用塞瓦定理逆定理可以直接證出：
:\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB}=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}=1
因此三線共點。

中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的\dfrac{1}{3}。如右图所示：

如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于(x_a, y_a)，(x_b, y_b)，和(x_c, y_c)，那么几何中心位于：

:\Big(
\begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a+x_b+x_c),\;
\begin{matrix}\frac13\end{matrix} (y_a+y_b+y_c)\Big)
= \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_a, y_a)

  • \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_b, y_b)
  • \begin{matrix}\frac13\end{matrix} (x_c, y_c)

中心分中线为2:1的证明
设三角形ABC的中线\overline{AD}，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得
: AG = GO. \,

那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。

从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样

: GO = GD + DO = 2GD. \,

所以， AG = GO = 2GD\,，或 AG:GD = 2: 1\,，这对任何中线都成立。

性質

  • 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。
  • 頂點到重心的距離是中線的\tfrac{2}{3}。
  • 外心O、重心G、九點圓圓心F、垂心H四點依次序共線，其中OG:GF:FH=2:1:3，此線稱為歐拉線。
  • 內心I、重心G、斯俾克心S、奈格爾點N四點依次序共線，其中IG:GS:SN=2:1:3，此線稱為奈格爾線。
  • 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。

*在直角座標系中，若頂點的座標分別為(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3)，則重心的座標為：
:\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)
*三線坐標中、重心的座標為：
:bc : ca : ab = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = \csc A : \csc B : \csc C
*重心坐標中、重心的座標為：
:1 : 1 : 1
*三角形的重心的等截共轭点也是三角形重心自己。
*三角形的重心的等角共轭点称为类似重心。

四面体的中心
类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何n-维单形。如果单形的顶点集是{v_0,...,v_n}，将这些顶点看成向量，几何中心位于：
:\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i \; .

多边形的中心
一个由 N 个顶点 (x_i,y_i) 确定的不自交闭多边形的中心能如下计算：

记号 (x_N,y_N) 与顶点 (x_0,y_0) 相同。多边形的面积为：

: A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

多边形的中心由下式给出：

: C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

: C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

有限点集的中心
给定有限点集 x_1,x_2,\ldots,x_k属于\mathbb{R}^n，它们的中心定义C为
:C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}。

面积中心
面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。

对于两部分组成的图形，将有如下等式：
: \overline{y} = \dfrac{\overline{y_1}A_1 + \overline{y_2}A_2}{A_1 + A_2}

\overline{y}是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。A是特定部分的面积。

当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心：

: \overline{x} = \frac{\sum \overline{x_i}A_i}{\sum A_i}

: \overline{y} = \frac{\sum \overline{y_i}A_i}{\sum A_i}

这里从y-轴到中心的距离是\overline{x}，从x-轴到中心的距离是\overline{y}，中心的坐标是(\overline{x} , \overline{y})。

积分公式
一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分

:C_x = \frac{\int x f(x) \; dx}{\int f(x) \; dx}给出。

这里 f(x) 是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。

这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即 \bar{x}。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。

对任意维数 n，由相同的公式得出\R^n中一个对象的中心第一个坐标，假设 f(x) 是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的(n-1)-维测度。

注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在 f 为正规时，即分母为1，中心也称为 f 的平均。

当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。

圆锥和棱锥的中心
圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。

对称中心
如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。

地理中心
地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。

参见

  • 重心列表
  • 帕普斯中心定理
  • K-平均算法
  • 中點
  • 外心
  • 內心
  • 垂心
  • 奈格爾點
  • 类似中线
  • 歐拉線
  • 西瓦定理

参考文献
外部链接
[https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers*] by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2).

#三角形几何 #仿射几何 #平均数

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